Reizen door de ruimte

De banen van ruimtevaartuigen binnen ons zonnestelsel worden bepaald door de aantrekkingskracht van de zon en de planeten.De Duitse natuurkundige Hohmann bedacht in 1925 een systeem dat het minste brandstof kost en heel nauwkeurig is. Het wordt de Hohmann-transfer genoemd.
Alle ruimteschepen, of het nu Apollo's, Spaceshuttles, satellieten of Mars-verkenners zijn, gebruiken deze methode.

De Hohmann transfer

Als voorbeeld een communicatie-satelliet die gelanceerd wordt in een baan op 300 km hoogte en daarna naar een baan op 36000 km hoogte moet worden gebracht.

De raket wordt gelanceerd in baan A, op 300 km hoogte, linksom draaiend .
Door bijvoorbeeld 1 minuut te versnellen in de richting van de gele pijl schiet de raket uit zijn ronde baan naar buiten, en gaat baan B volgen.
De raketmotor is na 1 minuut uitgezet. Tijdens het klimmen naar het hoogste punt van baan B wordt de raket steeds langzamer totdat de klimsnelheid nul is.

Om in baan C te komen zal de raket op het hoogste punt van baan B, in de richting van de blauwe pijl nogmaals moeten versnellen.

Bij Apollo wordt deze methode vele malen gebruikt. De eerste keer bij de Trans Lunar Injection. Daarbij is baan A het beginpunt: de parkeerbaan na de lancering op 180 km hoogte.
De maan draait in baan C, op ongeveer 385.000 km hoogte. Het enige verschil is dat er bij de maan aangekomen niet nogmaals versneld hoeft te worden, de aantrekkingskracht van de maan neemt deze taak over en zorgt er ook voor dat baan B geen gesloten ellips wordt maar een open parabool. Het trekt de snelheid op tot ontsnappingssnelheid.

Ontsnappingsnelheid

Als een object dat om de aarde draait zijn snelheid verhoogt tot meer dan 7,5 km/seconde (28.000 km/uur) dan is de valboog ruimer als de kromming van de aardbol. Gevolg: de afstand tot de aarde wordt groter en het object vliegt de ruimte in. Maar, de aarde blijft wel aan het object trekken en met het winnen van hoogte neemt de snelheid af. Op een gegeven moment is de snelheid nul en valt het object weer terug naar aarde.

Verder van de aarde (of de maan, of de zon) neemt de aantrekkingskracht af, als de afstand (tot het middelpunt) verdubbelt, is de gravitatie 1,41 (de wortel uit 2) maal zo laag.
Andersom geredeneerd: een object in een omloopbaan dat zijn beginsnelheid met een factor 1,41 vergroot heeft dan zoveel vaart dat de aarde de snelheid niet meer tot nul kan terugbrengen. Het valt nooit meer terug.

Ruimteschip Aarde: De aarde is ook een object in een omloopbaan. De aarde draait in 365 dagen om de zon. Als we de snelheid van de aarde zouden kunnen verhogen zodat we in 365 / 1,41 = 258 dagen rond gaan, dan vliegen we weg uit ons zonnestelsel.

Ruimtevaart = delta-V (dV)

De grote kunst bij een Hohmann-transfer is het nauwkeurig versnellen van het ruimteschip naar de snelheid die nodig is om vanuit baan A naar baan C te klimmen. Hoe verder men wil reizen, hoe hoger de snelheids-toename die nodig is. De aarde blijft immers aan het ruimteschip trekken waardoor het in baan B steeds verder zal vertragen.
Deze snelheids-verandering wordt delta-V genoemd, het verschil tussen de beginsnelheid en de eindsnelheid van een raket-vuurstoot.

De delta-V wordt bepaald door de wetten van Newton.
Accelleratie (a) = kracht (F) gedeeld door de massa (m): a = F / m

Hierbij is F de stuwkracht van de raketmotor (in Newtons) en m het gewicht van het ruimteschip (in kg)

Hoe langer dat de acelleratie duurt, hoe hoger de de snelheids-verandering delta-V

Snelheids-verandering (dV) = accelleratie (a) x tijd (t): dV = a x t

Als deze formules worden samengevoegd krijgen we dV = F x t / m

In de praktijk is het echter nog een flink stukje ingewikkelder:

De massa van het ruimteschip wordt (door het brandstofverbruik) tijdens de motor-onbranding snel minder. Dit heeft dus een enorme invloed op de snelheids-verhoging. Dit verklaart natuurlijk ook waarom van de drie miljoen kg zware Saturnus V raket alleen de commando-module terug op aarde landt: zo veel mogelijk overbodig gewicht afwerpen om zo goedkoop mogelijk aan de benodigde delta-V te komen.

Een raket wordt aangedreven door het uitstoten van gasmoleculen. De snelheid en hoeveelheid waarmee dat gebeurt bepaalt de stuwkracht van de motor (Actie = reactie en kracht is massa x versnelling). Zo heeft elk type brandstof zijn eigen specifieke impuls (Isp). Dat is het aantal seconden dat 1 kg brandstof een kracht van 10 Newton kan opwekken.

Delta-V tijdens de TLI

Om te berekenen hoeveel brandstof uitgestoten moet worden, en dus hoelang de burn moet duren om bij de maan te komen zijn een groot aantal gegevens nodig.
De afstand van de maan tot de aarde op de lanceerdag.
De specifieke impuls van de brandstof.
Het gewicht van de raket en het brandstofverbruik.
De vertraging van het ruimteschip door de aardse gravitatie tijdens de oversteek naar de maan.

Na de lancering zijn de 1e en 2e trap afgeworpen en draait de combinatie van 3e trap en Apollo in een baan van 180 km hoogte om de aarde.

Bij de TLI gaat het ruwweg om de volgende snelheden:

De snelheid van een ruimteschip in de 180 km baan is ±7500 m/s.

Om in de invloedsfeer van de maan te komen moet het ruim 300.000 km klimmen.
Om zover te komen is een eind-TLI-snelheid nodig van ±10.800 m/s.

De snelheidstoemane DV zal dan ook moeten zijn: 10800-7500= ±3300 m/s.
Zonder de zwaartekracht van de maan zou dit net onder de ontsnappings-snelheid zijn. Ontsnappingssnelheid is de beginsnelheid x wortel 2.

De 3e trap wordt aangedreven door 1 Rocketdyne J-2 raketmotor. De brandstof is vloeibare waterstof met vloeibare zuurstof. Die combinatie heeft een Isp van 418 seconden.

De massa van een Apollo+3e trap na de lancering is 136.000 kg (mr). Daarvan is 72.000 kg brandstof voor de 3e trap.
Aan het einde van de Trans Lunar Injection is een groot deel van die brandstof verbruikt.
Het eind-TLI-gewicht is 136.000 kg - verbruikte brandstof (mb)

De delta-V wordt berekent met de formule:

dV = Isp x g x ln ( mr / (mr - mb))

Isp = specifieke impuls van de brandstof (het aantal sec. dat 1 kg brandstof 10 Newton kan opwekken)
g = gravitatie (9,81 m/s/s)
ln = natuurlijke logaritme
mr = massa van de raket + aanwezige brandstof
mb = massa van de verbruikte brandstof

Deze formule ziet er heel anders uit als het simpele dV = F x t / m , maar het geeft het zelfde resultaat, en bovendien zijn alle eerder genoemde faktoren er in verwerkt.

Met de rekenlineaal in de aanslag gaan de vluchtleiders in Houston aan het rekenen hoeveel brandstof er verstookt moet worden om aan de juiste delta-v te komen.
De vereiste nauwkeurigheid bij de maanreizen is 0,3 meter per seconde!
Vandaar dat de stuwkracht en brandstofverbruik van de raketmotor uiterst betrouwbaar moet zijn.

Bij de Apollo maanreizen komt het er op neer dat de raketmotor zo'n 340 seconden moet branden om het ruimteschip te versnellen van 7500 naar 10800 meter per seconde. De astronauten tikken op het toetsenbord het juiste getal in, en het startmoment dat de vluchtleiders berekend hebben.
Het startmoment van de burn, de motorontbranding wordt bepaald door de maan zelf. De maan is een bewegend doel en de burn moet exact beginnen tegenover de plek waar de maan na de 70 uur reistijd zal zijn. De denkbeeldige lijn vanuit het middelpunt van de maan door het middelpunt van de aarde heen is de antipode. Omdat de maan (1 x per 27,3 dagen) om de aarde draait schuift de antipode voortdurend mee over het aardoppervlak.
De richting waarin de stuwkracht van de TLI moet plaatsvinden is exact haaks op de antipode. De gele pijl in de animatie van de Hohmann-transfer.

Is de richting goed, het startmoment bekend en de burn-tijd ingevoerd dan is het Apollo ruimteschip klaar voor de reis naar de maan. Dertig seconden voor het startmoment begint het getal 99 te knipperen op het display. De commandomodule-piloot drukt dan op de knop PROCEED en zet daarmee de zaak op scherp.

De computer telt af, start de motor en schakelt deze naar 340 seconden weer uit.

Ruimtevaart is een combinatie van natuurkunde en wiskunde:
De elliptische baan wordt door de aantrekkingskracht van de maan een parabool.
De Lunar Orbit Insertion is ook een Hohmann-transfer. Door de negative delta-V (ca. 950 m/s) wordt een parobool weer een ellips die bij een 2e vertraging wordt omgezet in een circel.

Deze tekening is niet op schaal: bij deze grootte van de aarde is de afstand naar de maan 1,45 meter.


Home
Site map
Contact