Frans van Schooten
Op www.fransvanschooten.nl staat alles over de 17de eeuwse wiskundige Frans van Schooten.
Op www.fransvanschooten.nl staat alles over de 17de eeuwse wiskundige Frans van Schooten.
Heb je wel eens de vraag gesteld hoe de naald van een naaimachine zo mooi
recht op en neer beweegt?
Misschien vind je het heel vanzelfsprekend, of heb je er nooit bij stil gestaan. In een naaimachine zit een motor.
Net als iedere electromotor zorgt die motor ervoor dat een as draaien gaat.
De machine begint dus met een draaiende beweging.
De motor zit binnen in de naaimachine.
Wat je ziet is dat de naald snel op en neer beweegt.
Dat is geen draaiende beweging, maar een recht-op-en-neer beweging.
Ergens in het mechaniek van de naaimachine gebeurt dus iets bijzonders.
Grote vraag is nu hoe een naaimachine die ronddraaiende beweging omzet in een recht-op-en-neer
beweging.
Op deze pagina gaat het over het omzetten van de ene beweging in een andere. We laten zien hoe we:
We staan stil bij het mechanische aspect en bij de ontstaansgeschiedenis. Achtereenvolgens noemen we de namen van Tusi , Archimedes , Christopher Scheiner , Simon Stevin, Christiaan Huygens en Frans van Schooten. Een meer uitgebreide historischeverhandeling staat elders. De werking van de apparaten laten we zien met applets. We eindigen met een links naar andere websites, waaronder een italiaans museum die historische apparaten nagebouwd heeft en illustreert met applets. Tot slot behandelen we een rijk geïllustreerd boek uit de 17de eeuw waarin de ellipsograaf, hyperbolograaf en parabolograaf behandeld worden met grote aandacht voor de wiskundige principes. Bijzonder is dat de oud-nederlandse tekst door ons nog goed te lezen is.
Aan Nasir al-Din al-Tusi, een perzisch astronoom en wiskundige uit de 13de eeuw, wordt een constructie toegeschreven om vanuit een cirkelbeweging een recht-op-en-neer beweging te maken.
Kenmerkend voor deze constructie is dat de kleine cirkel half zo groot is al de grote cirkel. De kleine cirkel rolt langs de binnenkant van de grote. Op de rand van de kleine cirkel zit een stip. In de applet is het een potlood. Bij de naaimachine is het het bevestigingspunt van de naald. In ruststand zit de stip op het contactpunt tegen de rand. Als de cirkel tegen de wijzers van de klok inrolt, draait de stip met de klok mee (en andersom). Om dezelfde weg af te leggen, moet de kleine cirkel twee keer zo hard draaien als de grote. Druk op de button "Hulp" om de hulplijnen en de hoekdraaiing te zien. Je ziet dat de hoek bij de kleine cirkel twee keer zo groot is. Sleep het contactpunt maar eens naar boven. Op de grote cirkel heb je een hoek van 90° gemaakt, terwijl de kleine al een hoek van 180° gemaakt heeft. Na een halve slag van 180° over de grote cirkel is de kleine cirkel een hele slag van 360° gedraaid. Contactpunt en stip vallen weer samen. Het potlood is in een rechte lijn overgestoken. Als de kleine cirkel doorrolt, maakt het potlood dezelfde beweging terug.
Belangrijk is dat de kleine cirkel precies de helft is van de grote en dat de stip precies op de rand van de kleine cirkel zit. Met de juiste tandwielen maak je dus eenvoudig een apparaat dat de ronddraaiende beweging van een electromotor omzet in een recht-op-en-neer beweging.
Als de kleine cirkel niet precies de helft is van de grote en als de stip niet precies op de rand van de kleine cirkel zit, ontstaat het spirograph effect.
Een alternatief wordt aan Archimedes toegeschreven. Wiskunde docent Hans Klein heeft een uitwerking op zijn website gezet.
De pantograaf wordt toegeschreven aan de Christopher Scheiner. Na 1600 ontwikkelden Nederlanders als Simon Stevin, Christiaan Huygens en Frans van Schooten soortgelijke instrumenten. Ze noemden ze de parabolograaf en de hyperbolograaf. De werking daarvan laten we met applets zien. Ook zijn in die tijd instrumenten ontwikkeld voor het tekenen van vergrotingen of verkleiningen.
De parabolograaf , de hyperbolograaf en de ellipsograaf zijn alle drie gebaseerd op een beweegbare constructie met een ruit en twee latten met een gleuf. In een cyclische beweging wordt de ruit uitgerekt en weer samengetrokken. Het potlood wordt in alle gevallen in de kruising van de latten geplaatst. Met name de hyperbolograaf en de ellipsograaf lijken uiterlijk veel op elkaar. Op zich is dat al reden voor verwondering.
Op deze pagina kijken we naar de mechanische aspecten. Een wiskundige benadering staat op de pagina Krommen onder de koppen Hyperbool & Ellips en Parabool en op de pagina Parabolen.
Alle applets werken hetzelfde. Klik op de applet om het te activeren. Onder de titel staat welk punt bewogen moet worden. Het potlood laat een trace spoor achter. Druk met een muisklik op het rode kruis om het spoor te wissen. Druk op de toets r op het toetsenbord om de applet te resetten naar de uitgangspositie. Gebruik de schuifmaten naast de buttons om de lengte van de apparaten in te stellen.
|
De pantograaf is een apparaat om mechanisch vergrotingen mee te maken. Het idee is heel erg simpel. Je moet er maar op komen. Wiskundig gezien is het gebaseerd op de eigenschappen van een parallellogram. Positioneer de pantograaf met de gewenste vergroting op de juiste plaats en beweeg met de hand het punt over het origineel en het potlood tekent de bijbehorende vergroting.
Verwissel de posities van hand en potlood en het apparaat maakt een verkleining. |
|
|
|
|
Plaats de punten C en F, de centra van de ellips, op een willekeurige plaats.
|
|
Om mechanisch een parabool te tekenen zetten we eerst een lange lat vast op het papier. Deze lat heeft een gleuf waar knop G in bewegen kan. We zetten de parabolograaf vast in punt B, plaatsen een potlood in de kruising van de twee latten met een gleuf. Het apparaat is nu klaar voor gebruik. We bewegen knop G langs de lange lat en het potlood beweegt in de kruising mee en tekent zo de parabool.
|
|
|
|
|
Wiskunde is mensenwerk. Op deze pagina kort aandacht voor een aantal wiskundige uitvinders op het gebied van werktuigen. Een meer uitgebreide historische verhandeling staat elders.
Christopher Scheiner
|
Simon Stevin
|
Christiaan Huygens
De naam van Christiaan Huygens mag evenmin ontbreken.
Over hem zijn boeken vol geschreven.
Hij combineerde natuurwetenschappelijk en wiskundig inzicht met praktische toepassingen.
We kennen hem als de man van het slinger uurwerk, de eerste betrouwbare klok. Allereerst
heeft hij de natuurkundige principes van de slinger uitgewerkt.
Daarna heeft Huygens op die principes de klok gebouwd.
Ook heeft hij zich verdiept in de optica en apparaten gemaakt voor de fabricage van lenzen.
Dat brengt hem bij het onderwerp van deze pagina.
|
|
Frans van SchootenOp www.fransvanschooten.nl staat alles over de 17de eeuwse wiskundige Frans van Schooten.
Frans van Schooten juniorFrans van Schooten junior is in 1615 geboren in Leiden als de zoon van Frans van Schooten Sr. Zijn vader werkt als professor aan de ingenieursschool. Frans van Schooten junior treedt in de voetsporen van zijn vader. In 1637 ontmoet hij Descartes die werkt aan zijn "Discours de la méthode" met de appendix "Géométrie". Dat boek is het begin van de analytische meetkunde. Wij hebben het nog altijd over een cartesisch assenstelsel. Dat is vernoemd naar Descartes omdat hij als een van de eerste met coördinaten werkt. Descartes schrijft in het Frans, niet in het Latijn. Frans van Schooten junior vertrekt naar Frankrijk en Engeland. In 1643 keert hij terug naar Leiden, wordt assistent bij zijn vader en volgt hem in 1646 op. In 1645 heeft hij Christiaan Huygens als student. Hij schrijft verschillende boeken in het Nederlands en het Latijn. Hij is bekend om zijn latijnse vertaling van "Géométrie". Hij wordt nu geroemd om de popularisering van het werk van Descartes en om zijn eigen boeken met wiskundige exercities. De tekeningen naast de applets zijn ontleend aan Frans van Schooten. In 1659 is van hem een boek verschenen onder de titel "Mathematische oeffeningen : begrepen in vijf boecken". Voorbeelden van meetkundige opgaven staan op een andere pagina. Er is zelfs een meetkundige
stelling naar hem vernoemd.
|
Door Simon Stevin is een ellipsograaf gemaakt waarmee halve ellipsen getekend kunnen worden.
Een versie om lenzen te fabriceren is door Huygens ontwikkeld.
Het principe is gebaseerd op de halve ellips van Simon Stevin. Aan de bovenzijde
komt het stalen schuurblok en aan de onderkant is de hendel om soepel kracht te
zetten voor de schuuractiviteit.
Christopher Scheiner is een Duitser. Hij leefde van 1573 tot 1650.
Hij was astronoom, wiskundige en instrumentenmaker.
Hij heeft apparaten gebouwd om de omloop van de zon te onderzoeken.
Hij heeft de 
In 1600, midden in de 80-jarige oorlog, wordt aan de Leidse universiteit de ingenieursschool opgericht.
Prins Maurits belegert steden om ze te dwingen zich af de zijde van de Republiek te scharen.
Hij heeft ingenieurs en landmeters nodig om vestigingen, loopgraven, wallen en belegeringswerken te bouwen.
Hij wil een goede opleiding in de landstaal: het nederlands!
Simon Stevin ontwerpt het studieprogramma.
Hij schrijft voor de wiskunde belangrijke boeken over het nut van het tientallig stelsel.
Hij introduceert nederlandse woorden voor wiskundige begrippen.
Zonder overdrijving is hij een van de belangrijkste promotors van het wiskunde onderwijs.
Lees meer over Simon Stevin op