Het stoepje in de liftcurven van moderne profielen met flaps

door Karel Termaat

Inleiding:

Het draagvermogen van een vleugel laat zich eenvoudig berekenen met de bekende liftformule:

L = C_L . ½.r.V².S (1)

Hierin zijn de luchtdichtheid r (rho) en het vleugeloppervlak S constanten, V is de variabele vliegsnelheid die de vlieger binnen ruime marges zelf kan instellen en C_L is de daarbij passende liftcoëfficiënt. Tijdens de evenwichtsvlucht moet de opgewekte lift uiteraard gelijk zijn aan het gewicht G van het zweefvliegtuig, dit inclusief bemanning en andere belastingen zoals die bijv. bij het cirkelen optreden. We kunnen voor de liftformule dus ook schrijven:

G = C_L . ½.r.V².S (2)

waaruit als functie van de vliegsnelheid, direct de grootte van de liftcoëfficiënt C_L volgt die nodig is om de kist te dragen, namelijk:

C_L = (G/S) / ( ½.r .V²) (3)

Hierin is G/S de bekende vleugelbelasting (in N/m², veelal benoemd in kgf/m²) en ½.r .V² de dynamische druk. Uit deze formule blijkt dat de voor de vlucht benodigde C_L bij hogere snelheden kwadratisch snel kleiner wordt en andersom. Een belangrijke constatering zoals later zal blijken.

Aerodynamisch gezien is de liftcoëfficiënt C_L een eigenschap van het profiel van de vleugel die bij het betreffende zweefvliegtuig wordt toegepast en daarbij direct afhankelijk van de invalshoek a (alfa) van de inkomende stroming. Het verband tussen C_L en a wordt gewoonlijk vastgelegd in een grafiek, de C_L- a grafiek, ook wel de liftcurve genoemd.

Naast de liftcoëfficiënt C_L en de daarbij behorende invalshoek a is een tweede belangrijke parameter de weerstandscoëfficiënt C_Dp van het profiel. Ook deze coëfficiënt wordt gewoonlijk vastgelegd in een grafiek, de C_L- C_Dp grafiek, ook wel de weerstandscurve van het profiel genoemd. C_Dp is nodig bij de berekening van de weerstand die het profiel door zijn vorm en wrijving met de lucht tijdens de vlucht ondervindt, te weten:

W_Dp = C_Dp . ½.r.V².S (4)

Hieruit zien we dat de profielweerstand met het kwadraat van de vliegsnelheid verandert en het dus vooral bij de hogere snelheden gewenst is C_Dp door een optimaal ontwerp zo klein mogelijk te houden.

Een tweede weerstandsbron ontstaat omdat de vleugel een ‘actie = reactie’ effect oproept terwijl deze door de lucht beweegt. Het gewicht van het vliegtuig wordt ‘gedragen’ door de lucht die daardoor enigszins naar beneden wordt afgebogen. De weerstand die hiervan het gevolg is wordt geïnduceerde weerstand W_Di genoemd. Het is de prijs die voor de lift betaald moet worden. Bij lage snelheden is de geïnduceerde weerstand ongeveer even groot als de profielweerstand. Door het drukverschil tussen bovenzijde en onderzijde van de vleugel ontstaan bij de tippen stabiele wervels die een aanmerkelijke bijdrage aan W_Di geven. Met winglets kan de grootte van deze tipwervels en daarmee het effect op W_Di beperkt worden. Daarnaast bevorderen zij een betere omstroming van de uiteinden van de vleugel wat gunstig is voor het klimvermogen en de stabiliteit om de langsas. Bij hogere vliegsnelheden neemt de geïnduceerde weerstand snel af want:

W_Di = constante / V² (5)

Bij bekende liftcoëfficiënt C_L, berekend voor een gegeven vliegsnelheid V met formule (3), kunnen nu uit de C_L- C_Dp en C_L- a grafieken direct de profiel-weerstandscoëfficiënt C_Dp en de bijbehorende invalshoek a worden afgelezen. Verderop zal blijken dat bij gegeven C_L deze invalshoek door de vlieger steeds nauwkeurig bewaakt moet worden om bij een lage profielweerstand optimaal te vliegen.

Het genereren van nauwkeurige C_L- C_Dp en C_L- a grafieken is typisch het werkgebied van de aerodynamicus die al zijn theoretische kennis en ervaring, goede programmatuur en een goede windtunnel nodig heeft om tot een optimaal profielontwerp te kunnen komen. Bij de TUDelft, is Loek Boermans in zijn functie als leider van het Low Speed Aerodynamics Laboratory, samen met zijn medewerkers in dit doel veelvuldig geslaagd en geniet inmiddels grote bekendheid op het gebied van de lage snelheids aerodynamica bij zweef- en motorvliegtuigen.

Profielen zonder en met flaps:

Zoekt men in de literatuur naar liftcurven, dan vindt men voor de C_L- a grafieken veelal een figuur zoals gegeven in figuur 1.

Figuur 1: De klassieke liftcurve voor een a-symmetrisch

vleugelprofiel zonder flaps (ref. Botag in Wikipedia)

- Profielen van zweefvliegtuigen uit de Standaard Klasse hebben gewoonlijk liftcurves die sterk op die van figuur 1 lijken. In deze publicatie over profielen met flaps, wordt op het wel en wee van deze klasse vliegtuigen niet verder ingegaan. Over eerdere niet zo gunstige ervaringen van Baer Selen bij het thermieken in turbulente lucht met een vliegtuig uit die klasse, zou overigens veel gezegd kunnen worden. In samenwerking met de TUDelft werden goede oplossingen, in de vorm van vliegsnelheid, profielwijziging en later ook de toepassing van winglets, aangedragen om dit gedrag te verbeteren.

- Als het profiel wel flaps heeft, geldt voor elke flapstand een andere lift- en weerstandscurve. Bij positieve flapstanden krijgt het profiel meer welving en schuiven deze curven, die betrokken blijven op de koorde met de flaps in de nulstelling, in hun grafische presentaties meer naar boven. Voor negatieve flapstanden geldt uiteraard het omgekeerde.

Binnen de grenzen van handelbaarheid en veiligheid wordt bij een profielontwerp steeds gestreefd naar een zo laag mogelijke weerstand. Essentieel daarbij zijn een kleine profieldikte en een zo lang mogelijke laminaire grenslaag aan beide zijden van het profiel. Het blijkt inderdaad mogelijk een relatief dun profiel te ontwerpen dat in een klein gebied van invalshoeken rond a = 0° bij praktische flapstanden zowel aan de onderzijde als aan de bovenzijde van het profiel een zeer lange laminaire grenslaag heeft. Aan de onderzijde geldt dit tegenwoordig tot aan het begin van de flap, of soms zelfs tot halverwege die flap. Daar wordt dan met zigzagtape of uitblaasgaatjes de laminaire grenslaag kunstmatig tot omslag naar turbulent gebracht zodat ook voor het laatste deel van het profiel nog een stabiele grenslaag ontstaat en geen vroegtijdige loslating van de stroming optreedt. Op de bovenzijde van het profiel vindt de transitie onder gunstige omstandigheden op zo’n 75% van de koorde plaats. Door de specifieke vorm van het profiel gebeurt dit op een goed gecontroleerde, natuurlijke wijze. Daarbij ontstaat veelal een dunne laminaire blaas, waarbij de laminaire grenslaag loslaat van het oppervlak, turbulent wordt en stroomafwaarts weer gaat aanliggen, zonder extra weerstand te genereren.

Bij iedere flapstand is er een klein gebied van invalshoeken aan te geven, waarvoor bovenstaande geldt en waarbij de weerstand van het profiel zeer laag is. Om hiervan te profiteren moet bij elke waarde van de vliegsnelheid en bijpassende waarde van C_L zoals die volgt uit formule (3), de juiste flapstand gekozen worden. Bij die juiste flapstanden komt C_Dp steeds uit op een zeer lage waarde. Voor de Antares toont figuur 2 de C_L- C_Dp curven bij verschillende flapstanden waaruit dit duidelijk blijkt. Sterk gelijkende curven gelden voor andere moderne profielen met flaps.

Figuur 2: Gemeten C_L- C_Dp curven bij verschillende flapstanden voor

het DU97-127/15M profiel bij Re = 1.5*10E6 (ref. TUDelft, nabewerkt).

Het zal uit figuur 2 duidelijk zijn dat bij de lage C_L waarden die optreden tijdens snel vliegen een iets te positieve flapstand een aanzienlijke toename in C_Dp kan veroorzaken. Zo is de combinatie C_L= 0.3 (bij 180km/h) en flapstand +5° ongunstig. Flapstand 0° of -3° is hier de goede keuze. Maar ook bij langzaam vliegen en meer positieve flapstanden moet men oppassen. Zo is de combinatie C_L=1.0 (bij 100km/h) en flapstand 0° bepaald ongunstig omdat de weerstand dan zeer hoog is (C_Dp valt zelfs buiten de grafiek). Flapstand 10° of 20° is hier de goede keuze.

In al die gevallen waarin een ongunstige combinatie van liftcoëfficiënt en flapstand wordt gekozen, wordt de laminaire grenslaag hetzij aan de onderzijde van het profiel hetzij aan de bovenzijde ervan onnodig vroeg turbulent en veroorzaakt, zeker als daarbij ook nog loslating optreedt, veel extra profielweerstand. Gewoonlijk geven zweefvliegtuigfabrikanten tabellen waarin lettend op de profielweerstand gunstige combinaties van vliegsnelheden en flapstanden worden vermeld. Nauwkeurige C_L- C_Dp grafieken die via berekeningen en windtunnelmetingen zijn ontstaan liggen daaraan ten grondslag. Het is zaak hier tijdens de vlucht grote aandacht aan te geven.

Voor een modern profiel met flaps zijn in figuur 3 een aantal gemeten liftcurven gegeven. Zowel bij langzaam vliegen met positieve flapstanden en grote C_L als bij snel vliegen met negatieve flapstanden en lage C_L, (FL<0°, niet ingetekend), is het gebied van invalshoeken waarbij de weerstand laag is klein en ligt typisch in de buurt van Alfa = 0°.

Figuur 3: Liftcurven van een modern profiel met flaps (nabewerkt);

vóór het horizontale deel is dC_L/da = 0.1/grd, daarin is dC_L/da = 0

Waar gaat het mis:

Wat bij de liftcurven van figuur 3 direct opvalt en afwijkt van de vorm van de liftcurve van een profiel zonder flaps zoals gegeven in figuur 1, is het horizontale verloop in het middendeel van de curven, vooral voor die bij de meer positieve flapstanden. Dit horizontale deel valt per flapstand steeds samen met de bovengrens van de betreffende C_L- C_Dp weerstandscurve zoals gegeven in figuur 2. Voor nog wat grotere waarden van C_L neemt C_Dp heel snel toe, zoals voor C_L = 1.0 bij flaps = 0° in figuur 2 aangegeven. Het is dus gewenst om tijdens de vlucht die bovengrens ruim te respecteren door een juiste combinatie van C_L (snelheid) en flapstand te kiezen waarbij een lage C_Dp gegeven is. Er wordt dan met een kleinere invalshoek a ruim vóór het horizontale deel in de liftcurven van figuur 3 gevlogen.

In het horizontale deel van de liftcurven van figuur 3 neemt bij toenemende invalshoek de lift op het voorste deel van het profiel verder toe, maar op het meer stroomafwaarts gelegen deel neemt deze al af als gevolg van het voortijdig turbulent worden van de grenslaag en loslating van de stroming op de naar beneden uitgeslagen flaps. Bij een goede balancering van deze twee effecten bij het ontwerp van het profiel, is de totale lift in dit gebied van de liftcurven ongeveer constant en onafhankelijk van de invalshoek. Voorbij het horizontale deel in de liftcurven neemt C_L weer toe door een wat terughoudende afname van de lift op het laatste deel van het profiel bij de grotere invalshoeken. Tenslotte tonen de liftcurven het bekende verloop behorende bij het overtrekken van een profiel. Het horizontale deel in de liftcurven, het zogenoemde stoepje, wordt nu al voor langere tijd bij het ontwerpen van profielen met flaps toegepast nadat gebleken was dat een nog verder op lage weerstand geoptimaliseerd profiel met een dip in de liftcurven, niet goed bij thermiekvliegen functioneerde.

Sinds een paar jaar lijken toch enkele in de praktijk optredende problemen, zoals eerder bij thermieken opgemerkt door Baer Selen bij een zweefvliegtuig zonder flaps en later in bredere zin door Ronald Termaat en door mijzelf voor een zweefvliegtuig met flaps, door vlakke delen in de liftcurven veroorzaakt te worden. Bij een plezierig en constructief overleg van Ronald en mij met Loek Boermans over deze problemen, bleek dat Loek na lang zoeken er achter was gekomen dat in een nieuw ontwerp het vlakke deel in liftcurven beter vervangen kan worden door een lichte positieve gradiënt. Maar vliegers van zweefvliegtuigen met flaps hadden hierover nog nooit opmerkingen gemaakt vertelde hij. Ronald en ik waren de eersten die er over begonnen waren, nu tijdens dit bezoek bij de TUDelft en kort er voor ook vanuit Issoudun in de periode van EK2007.

De problemen waar het bij een profiel met flaps met een stoepje in de liftcurve om gaat zijn:

a. De kist kan bij de landing niet netjes afgevangen worden, immers landend met een invalshoek die net vóór of juist al in het horizontale deel van de liftcurve ligt, geeft bij invalshoekvergroting tijdens het afronden geen extra lift en derhalve stuitert de kist tegen de grond;

b. Tijdens het relatief langzaam aanvliegen van thermiek (zoeken) blijft de bekende stoot naar boven uit, immers door de opeens optredende verticale stroming passeert de invalshoek het begin van het horizontale deel en blijft C_L constant. Het profiel reageert niet op die vrij plotselinge opwaartse beweging van de lucht; het vinden van thermiek en ook het centreren ervan wordt hierdoor bemoeilijkt;

c. Bij het vrij langzaam vliegen in onregelmatige, turbulente thermiek blijft het stijgen achter bij de verwachting, immers naar bovengerichte luchtbewegingen hebben geen optillend effect als de invalshoek a in het horizontale gebied terecht komt, terwijl naar beneden gerichte luchtbewegingen a verkleinen en het profiel op de gebruikelijke wijze naar beneden drukken. Ergo, het gemiddelde thermische stijgen in dit type thermiek wordt ongunstig beïnvloed door het gemiddelde negatieve effect van de turbulenties.

Twee benaderingen om de problemen onder controle te krijgen:

1. Aanpassen van het profiel:

Voor nieuwe zweefvliegtuigen met flaps mogen de liftcurven zoals gegeven in figuur 3 geen stoepje meer vertonen, maar moeten in het betreffende invalshoekbereik tenminste een licht stijgend verloop hebben, opdat invalshoekvergrotingen die in dit gebied terecht komen nu wel een toename in de liftcoëfficiënt veroorzaken.

De landingsproblemen zijn dan beter onder controle te krijgen en het aanvliegen van thermiek zal beter waar te nemen zijn. Daarnaast zal het negatieve effect van turbulenties op het gemiddelde stijgen in een turbulente bel duidelijk minder sterk zijn omdat upgusts een optillend effect zullen veroorzaken en het effect van de negatieve gusts daarmee deels zullen compenseren. Figuur 4 toont tijdens de vlucht in thermiek gemeten verticale snelheidswisselingen waarbij het testbed zweefvliegtuig, de ASW-19 van de TUDelft, gemiddeld 3m/s steeg. Volgens berekeningen van Loek Boermans zal bij een profiel met een horizontaal stoepje zoals aangegeven (typical airfoil), door de dynamische effecten bij 750m afgelegde weg, een extra hoogteverlies van 19m zijn opgetreden. Dit komt bij een vliegsnelheid van 25m/s (90km/u) overeen met een extra daalsnelheid van 0,63m/s. Wordt in het invalshoekbereik van het stoepje de licht positieve gradiënt van dC_L/da = 0,025 per graad in de curve gerealiseerd (new airfoil), dan is de extra daalsnelheid maar 0,23m/s. Het verschil is 0,40m/s, d.w.z. dat een profiel met een lichte gradiënt in de liftcurve, voor deze vliegsnelheid 0,40m/s beter zal stijgen dan een profiel met stoepje. Een aanmerkelijke verbetering dus.

Figuur 4: Extra effect van turbulenties op de daalsnelheid tijdens cirkelen met

een constante vliegsnelheid van 25m/s (ref. TUDelft; zie ook de serie publicaties

van Loek Boermans in Sailplane and Gliding van de maanden juni t/m nov. 2009)

Maar bij een nieuw profielontwerp wil je niet inleveren op eerder bereikte gunstige snelvliegeigenschappen. Gedetailleerde ontwerpberekeningen tonen aan dat dit inderdaad niet het geval hoeft te zijn.

2. Aanpassen van de vliegstijl:

Bij de huidige profielen met stoepje kan de vliegstijl als volgt worden aangepast om de negatieve effecten te beperken:

a. Landt met een wat hogere snelheid waarbij de invalshoek duidelijk vóór het begin van het stoepje blijft. Maak een vloeiende wiellanding en rem af met volle remkleppen en een effectieve, betrouwbare wielrem. Een goed verende wielophanging is hier wel op zijn plaats;

b. Vlieg nieuw stijgen voldoende snel aan opdat plotselinge invalshoekvergrotingen zoals die bij het binnenvliegen van thermiek kunnen optreden nog vóór het stoepje vallen. De liftcoëfficiënt C_L heeft dan nog de sterke positieve gradiënt van dC_L/da = 0,1 per graad waarbij een goed waarneembare toename in de draagkracht optreedt;

c. Vlieg wat harder in turbulente thermiek en doe dat met relatief veel helling om goed gecentreerd te blijven; de invalshoek a blijft dan steeds zo veel mogelijk vóór het stoepje liggen;

d. Bij een wat ruimere uitgebreidheid van het turbulente thermische gebied lijkt het mogelijk wat beter te scoren door een terughoudend gebruik van de flaps bij een wat verhoogde snelheid, immers uit figuur 3 blijkt dat het stoepje bij kleinere flapstanden naar hogere waarden van a verschuift en daarmee de marge voor het bereiken van het plateau door positieve turbulenties wat groter wordt;

e. Bij langzaam vliegen dichtbij het stoepje is het raadzaam om bij overgang naar een nog lagere snelheid eerst de flaps te verstellen en daarna de snelheid verder terug te nemen. Bij de overgang naar een hogere snelheid is het raadzaam eerst de snelheid te verhogen en daarna de flaps te verstellen. Op deze manier blijft de marge tussen de actuele invalshoek en die behorende bij het begin van het stoepje steeds zo groot mogelijk. Bij snel vliegen is er geen stoepje waarop gelet moet worden.

Ter toelichting van deze richtlijnen zijn snelheidsafhankelijke berekeningen uitgevoerd met een daartoe door mij ontwikkelde dynamische routine. De resultaten van twee berekeningen geef ik hier weer.

In figuur 5 wordt als functie van de cirkelsnelheid Vvc de stijgsnelheid Vs_total weergegeven in een rustige thermiekbel met een maximale sterkte van 3m/s in het centrum. De liftcurve van het profiel van figuur 3 met de flaps ingesteld op 15° wordt toegepast. De liftcurve is in figuur 5 de rode lijn die bij 100km/h duidelijk het stoepje laat zien.

Uit de figuur blijkt dat het maximale stijgen dat bereikt kan worden 1,8m/s is bij een vliegsnelheid van 102km/h. Dit is net vóór het stoepje.

Figuur 5: Cirkelen in rustige thermiek zonder turbulenties

Vervolgens werd een identieke berekening uitgevoerd waarbij echter aan het thermiekmodel van figuur 5 ruisachtige sinusvormige turbulenties werden toegevoegd met een gemiddelde amplitude van 1,5m/s. Het resultaat van deze berekening is gegeven in figuur 6.

Figuur 6: Cirkelen in onrustige thermiek met turbulenties

In deze figuur is nadrukkelijk het negatieve effect van de turbulenties aanwezig. De gunstige totale klimsnelheid Vs_total van 1,8m/s van figuur 5 daalt hier naar 1,3m/s. Een vrij dramatische afname in het klimmen met zo’n 0,5m/s. Het separaat weergegeven effect van de turbulenties Vs_gusts op de klimsnelheid spreekt voor zich. Uit de figuur blijkt dat het nuttig is wat harder te gaan vliegen, bijv. met een snelheid van zo’n 110km/h.

Met een invalshoek vliegen die voorbij het stoepje ligt waar de liftcurven van figuur 3 weer gaan stijgen, d.w.z. vliegen met een lagere snelheid dan 100km/h is misschien mogelijk, maar zal voor de vlieger uiterst lastig zijn. Bij de relatief grote invalshoek die hiervoor nodig is zijn de flaps overtrokken; dat zal in combinatie met de optredende verticale snelheidswisselingen van de lucht het controleren van een acceptabele vliegstand er niet eenvoudiger op maken. Toch zijn hier wel positieve berichten over. Wellicht wegen de gunstige dynamische effecten op tegen de verhoogde eigen daalsnelheid en slechte controleerbaarheid. Deze methode raad ik bij vliegen in gemeenschappelijk verband zeker af. Men kan dan wellicht beter overwegen de turbulente thermiek te verlaten om wat verderop rustiger stijgen aan te vliegen. Zelf deed ik dat al eens vanaf een veelbelovende plek bij Epe op de Veluwe nadat ik al foeterend nog steeds geen meter omhoog gekomen was.

Een globale vergelijking van de resultaten van mijn dynamische routine met die van Loek Boermans ligt uiteraard voor de hand. Loek voerde zijn meer gedetailleerde analyse met een echt turbulentiesignaal uit bij een vaste vliegsnelheid van 90km/h en vond een negatief effect van -0,63m/s, zie figuur 4 hiervoor. In figuur 6 vind ik, vliegend met een wat hogere vleugelbelasting, bij 102km/h en een sinusvormig turbulentiesignaal met random amplitude een effect van -0,50m/s. In principe dus goede overeenstemming, maar een iets conservatiever resultaat.

De verbetering in dit verlies die optreedt door in plaats van het vlakke stoepje een gradiënt van dC_L/da = 0,025 per graad te kiezen levert in de analyse van Loek het respectabele effect op van +0,40m/s bij 90km/h. Een identieke berekening met mijn snelheidsafhankelijke routine komt uit op een verbetering in de daalsnelheid met +0,32m/s bij 102km/h. Dus eveneens goede overeenstemming.

Conclusies:

- De eerste moderne vliegtuigen met profielen zonder vlak stoepje, n.l. Diana 2, de ASH-30, de JS1 en ook de Arcus vliegen inmiddels.

- Men kan verwachten dat in de naaste toekomst uitsluitend profielen zonder stoepje in de C_L-a grafiek zullen worden ontworpen en toegepast. De winst in performance die door deze modificatie kan worden geboekt is gunstiger dan wat nog te bereiken zou zijn met een verdere verkleining van de profielweerstand of de geïnduceerde weerstand.

- Bij de huidige moderne profielen lijkt het mogelijk door strategisch te vliegen de invalshoek a zoveel mogelijk vóór het stoepje te houden waarmee de negatieve effecten in de landing, bij het aanvliegen van thermiek en vooral bij het cirkelen in turbulente thermiek kunnen worden verminderd.

Er moet nog wel worden gezegd dat de in dit artikel genoemde berekeningen zijn uitgevoerd onder de aanname dat het stoepje over de gehele spanwijdte op het zelfde moment en in dezelfde mate actief is. Dit is echter niet het geval. Door de willekeurige ruimtelijke verdeling en afmetingen van turbulenties treedt er een zekere spreiding van hun positieve en negatieve effecten over het vleugeloppervlak op. Daarnaast zijn de profieleigenschappen over de lengte van de vleugel veelal niet constant omdat gewoonlijk meerdere profielen worden toegepast om gunstige en vooral ook veilige vliegeigenschappen te bewerkstelligen. Gevolg is dat de negatieve effecten van het stoepje zich niet tegelijkertijd en in dezelfde mate manifesteren en het totale effect in feite een som van locale effecten is. De uitkomsten van de berekeningen worden hierdoor wat overschat weergegeven.

Verder werk bij de TUDelft:

Aan de TUDelft loopt een simulatieonderzoek waarbij met de Flight Simulator “Silent Wings” in de turbulente thermiek van figuur 4 wordt gevlogen met een zweefvliegtuig voorzien van vleugelprofielen met en zonder stoepje. Hiermee wordt getracht een nog beter inzicht te krijgen in het gedrag en de prestaties van het vliegtuig in afhankelijkheid van het stuurgedrag van de piloot. Het laatste woord over het stoepje is dus nog niet gezegd.

Tenslotte:

Mijn vrienden wil ik bedanken voor de inspirerende discussies over en directe bijdragen aan deze publicatie betreffende het plateau in de C_L-a curven van moderne zweefvliegtuigen met flaps. Dit geldt met name voor mijn zoon Ronald en daarnaast uiteraard voor Loek Boermans, die beiden op hun eigen gebied van praktische ervaring en theoretische kennis een substantiële bijdrage hebben geleverd in de totstandkoming van dit werk. Daarnaast heb ik vrij veel specifieke literatuur bestudeerd om mij met het mooie vakgebied van de aerodynamica wat beter vertrouwd te maken: boeken en dictaten van Helmut Reichmann, Fred Thomas, Loek Boermans, John Anderson en anderen. Daarnaast bleek met enig zoeken ook het internet een bron van kennis te zijn, vooral ook betreffende het werk van vroege pioniers op dit gebied.

Arnhem / Delft , 17/12/09