Toelichting bij artikel over de grenslaag    CONCEPT

 

De liftformule en de weerstandsformule:

 

Lift:   L = Ĺ ρ V2 . S . CL  (1)

 

waarin:

L = liftkracht in Newton (= kg.m/s2), ρ = luchtdichtheid in kg/m3 , V = vliegsnelheid in m/s, S = eenzijdig vleugeloppervlak in m2

en CL = liftcoŽfficŽnt (dimensieloos)

 

Omdat L = G  (de Lift is gelijk aan het Gewicht in Newton) kunnen we via (1) voor de liftcoŽfficiŽnt expliciet schrijven CL =(G/S)/( Ĺ ρ V2) (2) , dat is vleugelbelasting in N/mgedeeld door de dynamische druk in N/m2 . Een typische waarde voor CL is 0,5. Overigens wordt de vleugelbelasting (in kracht per m2 (bijv. 400N/ m2) abusievelijk veelal een factor 10 te laag benoemd in kg/ m2 (bijv. 40kg/m2). De lift is een kracht die loodrecht op de stromingsrichting werkt. Een typische waarde voor de lift is L = Ĺ .1,225.362.10.0,5 = 3970N. In de evenwichtsvlucht compenseert de lift juist het gewicht van het toestel.

 

Profielweerstand:   Dp = Ĺ ρ V2 . S . CDp  (3)

 

waarin  Dp = weerstandskracht in Newton en CDp = weerstandscoŽfficiŽnt van het profiel (vorm en wrijving)

 

Deze formule voor de weerstand die een voorwerp (profiel) van de stroming ondervindt heeft dezelfde vorm als die voor de lift. De weerstand is een kracht die in de stromingsrichting werkt. Bij moderne zweefvliegtuigen is de profielweerstand Dp een factor ca. 100 kleiner dan de lift. Een typische waarde voor CDp = 0,005. Houden we tevens rekening met de geÔnduceerde weerstand van het profiel en de schadelijke weerstand van de rest van het vliegtuig dan is de totale weerstand voor moderne toestellen een factor ca. 50 kleiner dan de lift (bijv. 80N (resp. 8kgf)). Er geldt dan L/D = 50 en dat wordt "glijgetal" genoemd. De totale weerstandscoŽfficiŽnt is dan CDt = 0,01.

Uiteraard kan ook de weerstandscoŽfficŽnt expliciet geschreven worden als CDp =(Dp/S)/( Ĺ ρ V2) (4), dat is weerstandsbelasting in N/mgedeeld door de dynamische druk in N/m.

 

De liftkracht en de weerstandskracht staan loodrecht op elkaar en vormen samen de totale kracht die een profiel van een stroming ondervindt.

 

De weerstandscurve en de liftcurve in ťťn grafaiek:

 

De meetpunten van de CL Ė α en de CD Ė α waarnemingen in windtunnels vormen gekoppelde paren met α als parameter. Deze C- CD  paren kunnen uiteraard ook grafisch worden weergegeven. In het linkerdeel van figuur 2 is dat gedaan; in het rechterdeel zijn de daarmee corresponderende CL Ė α curven weergegeven. Door per flapposite bij de laagste waarde van de profielweerstand in figuur 2a de bijbehorende invalshoek in figuur 2b op te zoeken komt men steeds uit in de buurt van Alfa = ca. 0grd. Kennelijk moet het profiel, ongeveer met die invalshoek gevlogen worden om de profielweerstand steeds zo laag mogelijk te houden. Een voor de praktijk belangrijke observatie.  Kenmerkend voor het profiel van figuur 2 is dat bij de meer positieve flapsettings, de liftcurven een typisch stoepje (deukje) vertonen dat nauw samenhangt met het optimalisatieproces van het profiel (draagvermogen bij wat grotere invalshoeken versus weerstand bij wat kleinere invalshoeken). Hierover werd in een eerder artikel al bericht. Bij de nieuwste profielontwerpen treft men dit stoepje niet meer in deze uitgesproken vorm aan.

 

Theoretische vooruitgang:

 

Nadat de ontwikkeling van de moderne wiskunde op gang was gekomen konden delen van de differentiaalrekening, de integraalrekening en de vectoranalyse worden gebruikt om formuleringen van aerodynamische problemen op te stellen en uit te werken.

Als uitgangspunt voor die formuleringen wordt in deze toelichting een in de stroming stilstaand klein volume beschouwd met instroom en uitstroom van massa m en impuls mV. De snelheid V van het door het volume stromende medium heeft de componenten u, v en w in respectievelijk de x-, de y- en de z-richting. Verder ligt in deze notitie de focus op vleugelprofielen, stationair omstroomt door niet samendrukbare lucht. Hierbij volstaan formuleringen in alleen de richting van het lokale profieloppervlak (de x-richting) en loodrecht daarop (de y-richting) om het stromingsbeeld te beschrijven. In eerste benadering is er geen stroming in de spanwijdterichting (de z-richting). Voor het kleine volume met eenheidsdikte in de z-richting gelden dan de volgende tweedimensionale relaties:

 

- a. Behoud van massa in het kleine vaste volume moet gelden terwijl de lucht er doorheen stroomt.

Deze uitspraak kan mathematisch neergelegd worden in de z.g. continuiteitswet die luidt div(ρV) = 0 of δu/δx + δv/δy = 0 (de verandering van massa in het kleine volume door instroom en uitstroom is nul).

 

- b. De tweede wet van Newton luidt F = m.a of met a = dV/dt ook te schrijven als F  = d(mV)/dt. In woorden: de door de stroming opgewekte drukkracht F op het kleine volume is gelijk aan de snelheid waarmee de impuls mV van dat kleine volume verandert.

Voor wrijvingloze stroming luidt de impulsvergelijking die uit F  = d(mV)/dt, kan worden afgeleid: uδu/δx + v δu/δy = -1/ρ dp/dx. Deze impulsvergelijking wordt de vergelijking van Euler genoemd naar de bedenker van de formulering. Kort na het ontstaan bewees d'Alembert dat met die vergelijking een profiel uiteraard geen wrijvingsweerstand, maar ook geen drukweerstand van de stroming kan ondervinden. 

Door integratie leidde Bernoulli uit de vergelijking van Euler, die ook geschreven kan worden als dp + ρ VdV = 0, zijn bekende formulering p + Ĺ ρ V2  = constant af. De constante is gewoonlijk gelijk aan de onverstoorde druk vůůr het profiel.

 

- c. Is de stroming niet wrijvingloos dan moeten viscositeitstermen aan de Euler vergelijking worden toegevoegd die de schuifkrachten op het kleine volume beschrijven. De impulsvergelijking wordt dan: u δu/δx + v δu/δy = -1/ρ dp/dx + υ (δ2u/δx2 + δ2u/δy2). Deze aangepaste Euler vergelijking wordt de Navier-Stokes vergelijking genoemd naar de bedenkers van de viscositeitstermen.

 

- d. In 1904 bedacht Prandtl dat bij visceuze stroming door de plakkracht aan het oppervlak van een profiel de verandering van de impuls loodrecht op het oppervlak veel groter is dan die in de stromingsrichting. Derhalve is in de NS-vergelijking dichtbij het profieloppervlak de term δ2u/δy2 veel groter dan de term δ2u/δx2 die daarmee verwaarloosd kan worden. De NS-impulsvergelijking reduceert dan tot u δu/δx + v δu/δy = -1/ρ dp/dx + υ δ2u/δy2 die logischerwijze de vergelijking van Prandtl wordt genoemd. Prandtl stelde verder dat buiten de grenslaag waarover we hier spreken de visceuze stroming als wrijvingsloos kan worden opgevat en het stromingsbeeld daar door de vergelijking van Euler wordt bepaald.

 

Bovenstaande formuleringen gelden voor het enkele kleine volume zoals aangegeven, maar uiteraard ook voor een verzameling van een groot aantal kleine gekoppelde volumina die een domein beschrijven. Daarmee kunnen stroomsnelheden V(x,y) en drukken P(x,y) in centrale punten van ieder van die volumina berekend worden. De gelijktijdige oplossing van de Navier- Stokes vergelijkingen voor al die kleine gekoppelde volumina is een veel vragende aktiviteit in een iteratief proces. Gelukkig zijn er tegenwoordig snelle computers en is er goede programmatuur, zoals FLUENT, beschikbaar die het probleem aankunnen. Ook kunnen veelal bij de uitwerking van specifieke problemen de wat minder gecompliceerde vergelijkingen van Euler en Prandtl in een nog verder vereenvoudigde vorm worden toegepast. Zo kan buiten de grenslaag de relatief eenvoudige potentiaaltheorie (zie hierna) worden toegepast in plaats van de Euler vergelijking en zijn voor de visceuze grenslaag door meerdere onderzoekers goed hanteerbare analytische formuleringen uit de impulsvergelijking van Prandtl afgeleid.

Deze gehele aanpak op basis van tweede wet van Newton en de continuiteitsvergelijking en de grenslaag ideeŽn van Prandtl, bleek een doorbraak in de ontwikkeling van efficiŽnte vleugelprofielen met veel draagkracht en weing weerstand te zijn. Het gebruik van de moderne wiskunde is daarbij onontkoombaar.

 

Van Euler naar de potentiaaltheorie:

 

Zoals door Prandtl gesteld is in het buitengebied met wrijvingloze stroming de Eulervergelijking van toepassing die differentieel voor alle roostergebiedjes iteratief kan worden opgelost zoals aangegeven. Voor het berekenen van de snelheidsverdeling net buiten de grenslaag is het handiger een platte panelenverdeling te genereren die het oppervlak bedekt. Voor al deze panelen geldt in principe ook de Eulervergelijking en zou eveneens een differentiŽle oplossing kunnen worden ontwikkeld. Uit de Eulervergelijking blijkt dat fysisch gezien de drijvende kracht voor de stroming geleverd wordt door de drukgradiŽnt dp/dx. Mathematisch gezien is het echter handiger een met de selheid V corresponderende potentiaalfunctie Φ te definiŽren waarvoor geldt V = gradΦ, of u = δΦ/δx en v = δΦ/δy. Bij rotatievrije stroming geeft substitutie van deze u en v in de continuiteitsvergelijking de Laplace vergelijking δ2Φ/δx2 + δ2Φ/δy2 = 0. Het is niet moeilijk deze differentiaalvergelijking voor de variabele Φ met gegeven randvoorwaarden voor alle paneeltjes langs het profieloppervlak iteratief op te lossen en daarmee de snelheid V= V(u,v) langs het oppervlak. Als startwaarden voor Φ zijn deze paneeltjes belegd met kleine identieke potentiaalbronnen en werveltjes die ieder voor zich potentiaalwaarden genereren in controlepunten P(x,y) van alle beschouwde paneeltjes. Uit het snelheidsveld V = gradΦ dat zo berekend wordt, kan voor iedere positie (x,y) de druk via de wet van Bernoulli bepaald worden.

Veelal worden de drukverdelingen in de vorm van de drukcoŽfficient Cp = 1 Ė (Vloc / V inf)2  als functie van de profieldiepte x / L grafisch weergegeven. In figuur 4 is daarvan een voorbeeld voor de Antaresvleugel gegeven.

 

Even pauze

 

--------------------------------------------------------------------------

 

 

Rekenen met XFOIL:

 

Zoals gesteld wordt XFOIL (van Mark Drela, MIT) vooral gebruikt om door voorzichtige geometrische aanpassingen aan een referentieprofiel beoogde aerodynamische eigenschappen te realiseren. 

De programmatuur werkt in het 2-dimensionale x,y vlak en maakt voor de berekening van het snelheidsveld buiten de grenslaag gebruik van een groot aantal kleine gekoppelde gebiedjes van variabele grootte. Deze z.g. panels beschrijven het domein in detail, vooral dicht bij het oppervlak van het profiel en daar waar de contouren van het profiel sterk wijzigen zoals aan de voorzijde en achterzijde. Enige kenmerkende stromingsdata voor Cp = -1,20 zijn vermeld. Opvallend is dat de snelheid op het profiel ca. 50% hoger is dan die van de ongestoorde stroming, terwijl de lokale druk daarbij slechts 1% lager is. Voor de aerodynamicus zijn deze grafische voorstellingen zeer informatief en men vindt deze dan ook terug bij alle studies aan vleugelprofielen.

 

- Transitie van laminair naar turbulent:

 

Newton bedacht al dat de schuifspanning als gevolg van de "kleverige" stroming langs het oppervlak gelijk is aan τ = μ . du/dy (12). Vooraan het profiel waar de stroming voor het eerst het oppervlak bereikt en de grenslaag nog heel dun is, is de snelheidsgradiŽnt du/dy groot en ondervindt het profiel lokaal dus veel wrijvingsweerstand. Verder stroomafwaarts wordt steeds meer lucht afgeremd, wordt de grenslaag dikker en ontwikkelt zich de snelheidsverdeling naar het voorbeeld van de vlakke plaat, echter bij een profiel gecorrigeerd voor het effect van de snelheidsverdeling van de vrije stroming net buiten de grenslaag zoals hiervoor aangegeven. Begint de snelheid in de buitenstroming na het bereiken van een maximum weer af te nemen, dan kan de snelheidsgradiŽnt du/dy bij het oppervlak van het profiel zover afnemen dat loslating van de grenslaag optreedt. De stroming in de losgelaten grenslaag wordt daarbij onstabiel, verandert van laminair naar turbulent en omdat de afgeremde lucht direct na de transitie door menging met de buitenstroming weer versneld wordt gaat deze nu als turbulente grenslaag opnieuw op het oppervlak aanliggen. De overgang gaat veelal gepaard met het ontstaan van een dunne "laminaire" blaas net stroomafwaarts van de plaats waar de laminaire grenslaag het oppervlak verlaat. Hierin kan zelfs terugstroming langs het oppervlak optreden. Bij proeven met fluoriscerende olie op het oppervlak is dit goed te zien. Deze laminaire blaas treedt over de gehele spanwijdte van de vleugel op en het is dus zaak het negatieve effect ervan op de weerstand door een optimaal ontwerp van het profiel zoveel mogelijk te beperken of zelfs geheel te vermijden.

In figuur 6 is het transitieproces, zich afspelend in een laagdikte van slechts enkele mm's, in detail weergegeven. Duidelijk is bij B het loslaatpunt van de laminaire grenslaag te herkennen waar ook iets boven het oppervlak de stroming tot stilstand is gekomen en du/dy = 0 en bij C even verderop, waar terugstroming plaats vindt, du/dy zelfs < 0 is. In de figuur is eveneens aangegeven dat na de transitie de nu turbulente grenslaag weer goed gaat aanliggen.

 

- Dikte van de grenslaag:

 

De dikte van de grenslaag kan volgens een afleiding van Blasisus uitgaande van de impulswet berekend worden met de relaties δ(x) = 5 . x / Rex 1/2 voor laminaire stroming en δ(x) = 0 ,37 . x / Rex 1/5  voor turbulente stroming. Bij de neus van het profiel is de dikte van de nog laminaire grenslaag δ(0) = 0mm en op 0,5m profieldiepte is deze bij een vliegsnelheid V = 40m/s (144km/h) voor laminaire stroming gelijk aan δ(0,5) = 2,2mm. Was de grenslaag vanaf het beging van het profiel al turbulent dan geldt voor de grenslaagdikte δ(0,5) = 11,0mm en dat is vijfmaal zo dik. Een turbulente grenslaag wordt bij een zelfde loopafstand over het profiel dus veel dikker dan een laminaire grenslaag. Door een equivalente dikte van de grenslaag die men kan aangeven waarin de stroomsnelheid op nul gesteld wordt en direct daarbuiten de snelheid van de niet afgeremde stroming heeft, is de aerodynamische dikte van het profiel iets groter dan de geometrische dikte. Dit effect op de geometrie wordt bij de berekening van snelheids- en drukverdelingen met de hiervoor beschreven potentiaaltheorie buiten de grenslaag iteratief goed meegenomen en is er in wezen de oorzaak van dat een profiel naast wrijvingsweerstand als gevolg van de viscositeit ook drukweerstand ondervindt en daarmee de eerder genoemde paradox van d'Alembert compenseert. In figuur 8 is het effect van de grenslaag duidelijk terug te vinden in de beide drukverdelingen, met name daar waar de laminaire grenslaag loslaat en de druk tijdelijk ongeveer constant blijft zoals door Sclichting voorspeld, om na de transitie van laminair naar turbulent weer snel aan te sluiten op de vorm van de ongestoorde stroming.

 

 

- Wrijvingsweerstand en zogwerking:

 

De wrijvingscoŽfficient is volgens een afleiding van Blasius bij laminaire stroming op het oppervlak gelijk aan 1,328 / Re 0.5 ; bij  turbulente stroming is deze

0 ,074 / Re 0.2  . Door deling volgt hieruit dat bij Re = 2.106 de wrijvingscoŽfficiŽnt voor turbulente stroming een factor ca. 5 hoger is dan die voor laminaire stroming. Het is dus aan te bevelen door een goed ontwerp van het profiel en door een goed praktisch gebruik van het profiel in het lage weerstandsgebied, de grenslaag zo lang mogelijk laminair te houden, zowel aan de bovenzijde als aan de onderzijde van het profiel. Ook zal het duidelijk zijn dat vooral aan de voorzijde, boven en onder, het vleugeloppervlak brandschoon moet zijn als men bedenkt dat verstoringen die groter zijn dan ca 10% van de grenslaagdikte deze stroomafwaarts vroegtijdig zullen doen omslaan naar turbulent en door wigvorming grote delen van het vleugeloppervlak een turbulente grenslaag kunnen bezorgen. Aan de voorzijde van het profiel is dat in feite voor iedere verstoring al het geval.

Hoewel een turbulente grenslaag beter blijft aanliggen dan een laminaire kan ook deze het oppervlak verlaten als de druk stroomafwaarts te snel sijgt. Dit is aan de achterzijde van het profiel het geval wanneer met een te grote invalshoek of een onjuiste flapstand wordt gevlogen. Achter het profiel ontstaan dan loslaatwervels en door zogwerking veel extra drukweerstand. De profielweerstand CDp neemt dan heel snel toe zoals in figuur 9 voor hogere waarden van de liftcoŽfficiŽnt is aangegeven voor onjuiste combinaties van de liftcoŽfficiŽnt CL en flapuitslag. Het zal duidelijk zijn dat de vlieger er attent op moet zijn door een juiste combinatie van snelheid en flapstand steeds in het lage weerstandsgebied te opereren.