Golfrijen.


De beroemde rij van Fibonacci kan op verscheidene manieren worden gegeneraliseerd. Een van die manieren is om het als een golfrij op te vatten.

English version of this page.


Golfrijen

Een golfrij wordt wordt gemaakt volgens een heel eenvoudig algoritme. Laten we als voorbeeld een 2-golfrij maken, d.w.z. een golfrij met amplitude 2.

Een 2-golfrij zal bestaan uit getallen die op de volgende manier zijn geplaatst:

* * * * * *    etc.
 * * * * * *

Om te beginnen vullen we de eerste twee getallen in. Neem ze bijvoorbeeld allebei 1. Elk nieuw getal wordt verkregen door het voorgaande getal en het getal links van het nieuwe getal op te tellen:

1 2 5 13 34 89 etc.
 1 3 8 21 55

Zoals je ziet vinden we hier de beroemde rij van Fibonacci.

Maar, de 3-golfrij ziet er minder bekend uit:

1   3    14      70         353
 1 2 5 11  25  56  126   283       Etc.
  1   6      31       157

Als we wat preciezer kijken, dan zien we dat de rij die ontstaat door de middelste regel weg te laten

 1 1 3 6 14 31 70 157

een bekende rij is, beschreven door Jacques Haubrich in het blad van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren "Euclides" als het aantal mogelijke wegen met n reflecties door 3 glasplaten. Een recurrente betrekking voor deze rij is a(n)= 2a(n-1)+a(n-2)-a(n-3). Het blijkt dat de middelste regel van deze 3-golfrij aan deze zelfde formule voldoet. Dus vinden we voor de 3-golfrij de recurrente formule: a(n)=2a(n-2)+a(n-4)-a(n-6).

De 4-golfrij

The 4-golfrij ziet er als volgt uit:

1     4        30            246
 1   3 7     26  56       216       Etc.
  1 2   9  19      75  160
   1     10          85

Wederom levert het weglaten van de middelste twee regels de rij van het aantal mogelijke wegen door vier glasplaten. Deze rij wordt beschreven met de formule a(n)=2a(n-1)+3a(n-2)-a(n-3)-a(n-4). En opnieuw kunnen we dit uitbouwen tot een recurrente formule voor de 4-golfrij:

a(n)= 2a(n-3)+3a(n-6)-a(n-9)-a(n-12).

Hoe deze recurrente formules te vinden?

De recurrente formules die we vonden voor de 3- and 4-golfrijen leken uit de lucht te komen vallen. We kunnen deze formules afleiden op een behoorlijk makkelijke manier.

Om dit te doen, bekijken we, als voorbeeld, de 4-golfrij. We verdelen de rij in vectoren op de volgende manier.

De eerste vector wordt gemaakt van de eerste vier getallen:

1     4        30            246
 1   3 7     26  56       216 
  1 2   9  19      75  160
   1     10          85

Dit levert vector .

De tweede vector wordt gemaakt van de vierde tot en met sevende getallen:

1     4        30            246
 1   3 7     26  56       216       Etc.
  1 2   9  19      75  160
   1     10          85

En dit levert de vector . En we kunnen zo doorgaan, en dan we vinden we , , etc.

Uit de beschrijving van hoe we een golfrij samenstellen, kunnen we afleiden dat we een volgende vector uit een vorige vector kunnen berekenen door te vermenigvuldigen met matrix

M = .

De karakteristieke vergelijking van deze matrix wordt gegeven door k4 - 2k3 - 3k2 + k + 1 = 0. Vanwege de stelling van Cayley-Hamilton weten we dat matrix M teniet wordt gedaan door zijn eigen karakteristieke polynoom, zodat M4 = 2M3 + 3M2 - M - 1.

Dit betekent dat de vector die wordt gevonden door te vermenigvuldigen met M4 kan ook worden gevonden door er in plaats daarvan 2M3 + 3M2 - M - 1 op los te laten. Dit verklaart onmiddellijk de recurrente formule a(n)=2a(n-3)+3a(n-6)-a(n-9)-a(n-12).


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Terug naar Home.