De Stelling van de Kruisingsdriehoek


In oktober 1997 liep ik in mijn gepeuter met driehoeken tegen een opmerkelijk leuke stelling aan. "Is deze stelling misschien bekend?", dacht ik toen. Wellicht niet in de bewoordingen van mij. Maar de uiteindelijke figuur was wel al bekend.

English version of this page


In perspectief

Men zegt in de wiskunde dat twee driehoeken ABC en A'B'C'in perspectief staan, als de lijnen AA', BB' en CC' samenkomen in één punt P. Het punt P heet het centrum van perspectiviteit.

Over driehoeken die in perspectief staan zijn vele stellingen bekend, maar het lijkt erop of niemand de stelling kent die ik in oktober 1997 ontdekte. Daarvoor maken we eerst de kruisingsdriehoek.

De kruisingsdriehoek

Uit twee driehoeken ABC en A'B'C' kan men de kruisingsdriehoek A"B"C" maken op de volgende wijze: A" is het snijpunt van BC' en B'C B" is het snijpunt van AC' en A'C C" is het snijpunt van AB' en A'B

Meer driehoeken in perspectief

Het eerste deel van de stelling die ik heb bewezen over de kruisingsdriehoek A"B"C" is het volgende:

Waren ABC en A'B'C' met elkaar in perspectief, dan zijn ABC en A"B"C" dat ook.

Het centrum van perspectiviteit noemen we Q.

 

Het tweede deel van de stelling is een logisch vervolg, namelijk dat dan ook de driehoeken A'B'C' en A"B"C" met elkaar in perspectief staan.

Het centrum van perspectiviteit noemen we nu R.

De finale

Het slot van de stelling is dat de drie centra van perspecitiviteit die we hebben gevonden op één rechte lijn liggen.

De figuur die nu ontstaat is bekend. Het is de projectie van vier viervlakken, bekend onder de naam desmische viervlakken. We zullen de figuur die nu ontstaat dus ook desmische configuratie noemen.

Het bewijs

Ik ga hier nu niet een volledig bewijs presenteren. Maar moeilijk is het bewijs niet. Als men de driehoeken ABC en A'B'C' opvat als een projectie van een piramide met top P (of zonodig van een dubbele piramide), dan volgt de stelling door een eenvoudige manipulatie met vlakken.

De stelling en zijn bewijs zijn gepubliceerd in:

Floor van Lamoen, Bicentric triangles, Nieuw Archief voor Wiskunde, 17-3 363-372 (1999).


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Terug naar Home.