Orthodiagonale vierhoeken en Pythagoras


We bewijzen op een eenvoudige manier dat de twee sommen van kwadraten van overstaande zijden in een orthodiagonale vierhoek gelijk zijn. De stelling van Pythagoras volgt hieruit op twee manieren.

English version of this page


Vriendschap van hoogtepunt en zwaartepunt als lemma.

Bekijk twee elkaar niet overlappende vierkanten die via een hoekpunt aan elkaar vast zitten. Vanuit het gemeenschappelijke hoekpunt worden door deze vierkanten twee driehoeken ingesloten.

Het is een voudig te zien dat een verlengde hoogtelijn vanuit het gemeenschappelijke hoekpunt in de ene driehoek, in de andere driehoek een zwaartelijn wordt.

De zwaartelijn McR in de linkse figuur wordt een middenparallel in de rectherfiguur door rotatie over 90 graden van de gele driehoek. Dit betekent dat deze zwaartelijn in de linkerfiguur loodrecht op AC1 moet hebben gestaan.

In mijn artikel Friendship among triangle centers heb ik dit ingewikkelder en indirecter laten zien.

Orthodiagonale vierhoek

In een orthodiagonale vierhoek (waarin de diagonalen elkaar loodrecht snijden) kunnen we deze wetenschap gebruiken op de volgende manier. Laat de figuren voor zich spreken.

Dus de twee sommen van oppervlaktes van vierkanten op overstaande zijden zijn gelijk.

Als een van de zijden van deze figuur inkrimpt tot een punt, wordt de vierhoek een rechthoekige driehoek. Dan is deze stelling de Stelling van Pythagoras.

De stelling van Pythagoras op een andere manier.

Er is een tweede manier om de Stelling van Pythagoras van deze figuur af te leiden, zonder dat er zijden verdwijnen. Daarvoor gaan we terug naar de linkerkant van de eerste figuur. We zien dat ABC2C1 orthodiagonaal is omdat als we AC1 roteren over 90 graden om Mc, dan is het beeld BC2.

Dus de rode vierkanten en de blauwe vierkanten hebben gelijke totale oppervlakte. Dat betekent dat de oppervlaktesom van de vierkanten APBMc en C1McC2Q, ieder de helft van een blauw vierkant, het gemiddelde is van de oppervlaktes van de rode vierkanten.

Als de hoeken bij Mc recht zijn, volgt hieruit de Stelling van Pythagoras.


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.