Een ander bewijs voor de Stelling van Pythagoras


Er zijn heel veel bewijzen bekend van de Stelling van Pythagoras. Een hele collectie vind je bij Alexander Bogomolny - Cut the Knot. Op zich is natuurlijk n bewijs genoeg. Het aardige van verschillende bewijzen is wel dat je ziet dat je op verschrikkelijk veel manieren naar zo'n stelling kan kijken. In dit bewijs leiden we de algemene stelling af van een bijzonder geval, dat zich eenvoudig apart laat bewijzen. Bij Cut the Knot is dit bewijs nummer 64.

English version of this page


Gelijkbenige rechthoekige driehoek

We laten zien dat in een gelijkbenige gelijkzijdige driehoek de schuine zijde √2 maal zo lang is als de rechthoekszijden. Dit is een bijzonder geval van de Stelling van Pythagoras.

Laten we het getal waarmee de lengte van de rechthoekszijden moet worden vermenigvuldigd om de lengte van de schuine zijde te krijgen eens s noemen. We krijgen de volgende figuur.

In de figuur zien we aan de ene kant dat de oppervlakte van de hele driehoek gelijk is aan a2, doordat de groene en de blauwe driehoek samen een vierkant van a bij a vormen. Aan de andere kant is de oppervlakte gelijk aan sa sa = s2 a2. Dus s2 = 2 (en s = √2).

Het algemene geval

Het algemene geval halen we nu uit de figuur hierboven. Het lijnstuk van lengte sc deelt het vierkant in twee gelijke stukken. In het ene stuk zijn de twee roze rechthoekige driehoeken beide van oppervlakte ab, samen ab. In het andere deel is de oppervlakte van de paarse rechthoekige driehoek sa sb = ab.

In beide delen blijft dus een gelijk stuk over als je deze rechtoekige driehoeken verwijdert. Dus c2 = a2 + b2. En de Stelling van Pythagoras is bewezen.


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.