Vierkanten in een driehoek


Een niet zo bekende manier om driehoekscentra te definiëren is het gebruiken van vierkanten. Hier volgen enkele voorbeelden. Op deze pagina bekijken we hoe we een driehoek door een vierkant kunnen laten omschrijven.


1. Omgeschreven vierkanten

 

figuur 1

 Gegeven een driehoek ABC.

Roteer B over 90 om A naar B' en roteer C over -90 om A naar C'.

Laat L het snijpunt zijn van B'C en C'B.

Laat F het voetpunt zijn van een hoogtelijn uit A op C'B en G het voetpunt van een hoogtelijn uit A op B'C.

We noemen AFLG een omgeschreven vierkant vanuit A om ABC:

  • omdat een hoekpunt, namelijk A, samenvalt;
  • omdat de twee andere zijden van AFLG door hoekpunten van ABC gaan, namelijk FL gaat door B en LG door C.

 

figuur 2

Het vierkant AFLG van figuur 1 is niet het enig mogelijke omgeschreven vierkant van ABC. In plaats van B te roteren over 90 en C over -90, kun je ook B roteren over -90 en C over 90.

Het vierkant AFLG heeft dan een andere oriëntatie (omloopszin)!

We zien in figuur 2 ook dat we het omgeschreven zijn van AFLG om ABC ruim moeten zien. B ligt op het verlengde van FL en C op het verlengde van GL.

De vierkanten AFLG van figuren 1 en 2 zijn de enige omgeschreven vierkanten van ABC met samenvallend hoekpunt A. We noemen de eerste het positieve en de tweede het negatieve omgeschreven vierkant.

 

figuur 3

We kunnen vanuit elk hoekpunt van ABC een positief omgeschreven vierkant construeren.

Als we dan elk hoekpunt van ABC verbinden met het tegenoverliggende hoekpunt in het vierkant krijgen we de drie diagonalen.

Deze diagonalen komen in samen in het eerste omgeschreven vierkanten punt, H in figuur 3.

Homogene barycentrische coordinaten voor dit punt zijn:

sin A/sin(A- pi/4):sin B/sin(B- pi/4):sin C/sin(C- pi/4)

 

In plaats van, zoals in figuur 3, de positieve omgeschreven vierkanten te nemen, kunnen we ook negatieve omgeschreven vierkanten nemen. Ook die vierkanten leveren diagonalen op die door een punt gaan, het tweede omgeschreven vierkanten punt. De barycentrische coördinaten voor dit punt zijn:

sin A/sin(A+ pi/4):sin B/sin(B+ pi/4):sin C/sin(C+ pi/4).

Figuur 4: de twee omgeschreven vierkanten punten

De twee omgeschreven vierkanten punten zijn isogonaal geconjugeerden van de twee congruente vierkanten punten (X371 en X372 uit Clark Kimberling's boek Triangle Centers and Central Triangles). De telling van Clark Kimberling loopt nog door. De twee omgeschreven vierkanten punten zijn X485 en X486. Deze nieuwe punten zijn ook te vinden in Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers.


  1. Omgeschreven vierkanten.
  2. Meer punten uit omgeschreven vierkanten.
  3. Congruente vierkanten.
  4. Ingeschreven vierkanten.
  5. Gekrompen ingeschreven vierkanten.


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.