Vierkanten in een driehoek


Een niet zo bekende manier om driehoekscentra te definiëren is het gebruiken van vierkanten. Hier volgen enkele voorbeelden. We gaan op deze pagina verder met omgeschreven vierkanten.


2. Meer punten uit omgeschreven vierkanten.

  

Figuur 1: de twee omgeschreven vierkanten punten

Zoals in figuur 1 is te zien is komen er uit ieder hoekpunt van driehoek ABC 4 lijnen die zijden zijn van omgeschreven vierkanten. We kunnen deze lijnen gebruiken om driehoeken te definiëren. Bijvoorbeeld op de volgende manier.

figuur 2

We bekijken eerst de positieve omgeschreven vierkanten. Vanuit A pakken we de 'rechterzijde' van zo'n vierkant, en vanuit B de 'linkerzijde'. Zij snijden elkaar in het punt C'. Op dezelfde manier vinden we A' en B'.

Driehoek A'B'C' is in perspectief met ABC. Het centrum van perspectiviteit is het hoogtepunt H (X4 in Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers (ETC).

 

 

We kunnen in plaats in plaats van de 'rechterzijde' vanuit A en de 'linkerzijde' vanuit B, zoals bij het construeren van C', ook juist de 'linkerzijde' vanuit A en de 'rechterzijde' vanuit B nemen. Het snijpunt van die zijden (eventueel verlengd!) is C". En door op dezelfde wijze ook A" en B" te maken, krijgen we een driehoek A"B"C", zie figuur 3.

 

 figuur 3

Driehoek A"B"C" is door deze constructie de kruisingsdriehoek van driehoeken ABC en A'B'C'.

Als consequentie van de stelling van de kruisingsdriehoek is driehoek A"B"C" perspectief met ABC en A'B'C' en liggen de twee centra van perspectiviteit op een lijn.

De barycentrische coördinaten voor het centrum van perspectiviteit van ABC en A"B"C" (het punt X487 in Kimberling's ETC zijn:

cosA (sinBsinC sinA) : cosB(sinAsinC sinB) : cosC(sinAsinB sinC)

En de barycentrische coordinaten voor het centrum van perspectiviteit van A'B'C' en A"B"C" (X491) zijn:

cosA(sinBsinC sinA) + sinAcosBcosC : cosB(sinAsinC sinB) + sinBcosAcosC : cosC(sinBsinC sinC) + sinCcosAcosB

figuur 4: De punten F (X491) en G (X487) en H (X4) liggen op een lijn

Voor de beter bekenden in driehoeksmeetkunde: De drie driehoeken ABC, A'B'C' en A"B"C" hebben een gezamenlijke as van perspectiviteit. De trilineaire pool van deze as is de harmonisch verwante van X491 t.o.v. X487 en X4. Deze trilineaire pool heeft in Clark Kimberling's ETC de naam X489 gekregen. Barycentrische coördinaten zijn:

cosA(sinBsinC sinA) sinAcosBcosC : cosB(sinAsinC sinB) sinBcosAcosC : cosC(sinBsinC sinC) sinCcosAcosB

In plaats van met de positief georiënteerde omgeschreven vierkanten, zoals hierboven, kunnen we ook werken met de negatief georiënteerde omgeschreven vierkanten. We krijgen dan enigszins andere coördinaten. De driehoeken ABC en A'B'C' hebben weer het hoogtepunt als centrum van perspectiviteit. Maar:

Voor een generalisatie tot ruiten, zie
Floor van Lamoen, Circumrhombi Forum Geometricorum 3 (2003) 215-223


  1. Omgeschreven vierkanten.
  2. Meer punten uit omgeschreven vierkanten.
  3. Congruente vierkanten.
  4. Ingeschreven vierkanten.
  5. Gekrompen ingeschreven vierkanten.


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.