Vierkanten in een driehoek


Een niet zo bekende manier om driehoekscentra te definiëren is het gebruiken van vierkanten. Hier volgen enkele voorbeelden. Op deze pagina werken we met ingeschreven vierkanten.


4. Ingeschreven vierkanten

We kunnen ons voorstellen dat op de c-zijde van een driehoek de zijde van een rechthoek wordt gezet, op zo'n manier dat de twee andere hoekpunten van de rechthoek op de a- en b-zijden liggen. Aan welke voorwaarden moet deze rechthoek voldoen om een ingeschreven vierkant te zijn?

figuur 1

In figuur 1 zien we een voorbeeld van een ingeschreven vierkant. We zien dat boven het vierkant een driehoek ontstaat die ontstaat uit ABC door in te krimpen vanuit C met een bepaalde factor p. De zijde van het vierkant heeft kennelijk lengte pc.

Aan de andere kant is eenvoudig uit te rekenen dat de lengte ook (1-p)b sinA moet zijn.

Uit pc = (1-p)b sin A vinden we dat:

  • p = b sin A / (c + b sinA)

Uiteraard kunnen we ook ingeschreven vierkanten maken op de zijden a en b. Telkens is er een tweede zijde parallel aan de zijde van driehoek ABC. Met deze zijden kunnen we een nieuwe driehoek A'B'C' maken.

figuur 2

Deze driehoek A'B'C' is heeft zijden parallel aan ABC ('homothetisch'). Daarom gaan de lijnnen AA', BB' en CC' door een punt D.

Driehoekscoördinaten (trilineair) zijn gelijk aan de verhouding tussen de afstanden tussen BC en B'C', AC en A'C', AB en A'B'. Deze verhouding is dus gelijk aan de verhouding tussen de lengtes van de zijden van de vierkanten. Dus de driehoekscoördinaten zijn:

... : 1 / (b + a sin C) : ... =

... : 1/(sin B + sin A sin C) : ...

Barycentrische coördinaten zijn dus: ... : sin B / (sinB + sin A sin C) : ... . In Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) is dit punt X493.

Dit punt is ligt altijd binnen driehoek ABC. Gek genoeg is dat met lang niet alle driehoekscentra het geval. Zelfs het hoogtepunt ligt in bepaalde driehoeken buiten de driehoek zelf.

We kunnen ook werken met vierkanten die uitsteken boven C zoals in figuur 3.

figuur 3

Net als bij figuur 1 kunnen we weer de lengte van de zijde van dit vierkant.

Nu vinden we, op analoge wijze als hierboven, dat p = b sin A / (c - b sin A).

Op een manier zoals in figuur 2 kunnen we ook hier een driehoek A'B'C' maken die homothetisch is met ABC. Het centrum van perspectiviteit krijgt dan driehoekscoördinaten:

... : 1 / (sin B - sin A sin C) : ...

En barycentrische coordinaten:

... : sin B / (sin B - sin A sin C) : ...

Dit punt is in Kimberling's ETC X494.

Er blijken ook nog ingeschreven vierkanten te zijn waarvan een diagonaal op een zijde van de driehoek valt. Lees meer in:

Floor van Lamoen, Inscribed squares, Forum Geometricorum 4 (2004) 207-214.


  1. Omgeschreven vierkanten.
  2. Meer punten uit omgeschreven vierkanten.
  3. Congruente vierkanten.
  4. Ingeschreven vierkanten.
  5. Gekrompen ingeschreven vierkanten.


Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.