De logarithmische schaal

Waarom?

Hiernaast staat een ongelijkheid. Probeer deze op te lossen op je GR.

Hiernaast staat de oplossing. Plaats er je muis op.

Vanwege die 1000 moet je je Ymax groot maken. Maar dan zie je Ymin niet meer.
Omgekeerd, wanneer je Ymax op 2/100 zou zetten, dan zie je het snijpunt met Y = 0.01 wel mooi, maar de 1000 valt ver buiten het beeld.

Om dergelijke problemen op te lossen is een speciale schaalverdeling bedacht, waardoor je zowel met kleine als grote getallen kunt werken op één enkele lineaal.

Waar je normaliter 0 neerzet, schrijf je er nu 10^0 bij, dus 1.
Waar normaal 1 staat, staat nu 10^1 = 10, op de plaats van de 2 schrijf je nu 10^2 = 100.
Ook links van de "oorsprong": waar -1 zou moeten staan, schrijf je nu 10^-1 = 0.1,
op de plaats van -3 schrijf je 10^-3 = 0.001

Op deze manier kun je zowel erg kleine als erg gote getallen plaatsen op deze getallenlijn.

Deze truc werkt alleen voor positieve getallen. immers is elke tien-macht positief.

Welk getal ligt precies in het midden tussen 1 en 10?
Welk getal ligt midden tussen 100 en 1000?
Welk getal ligt midden tussen 0.01 en 0.1?

Wanneer je goed kijkt, zie je dat in de ruimte tussen 1 en 10 acht streepjes staan. Deze horen bij de getallen 2 t/m 9.
Het valt op dat hun onderlinge afstand niet telkens even groot is.
We vragen ons af, hoe deze streepjes bepaald zijn.

Waar ligt op deze lineaal het getal 2. Vanwege de aard van de schaal, zoeken we dus het getal x zò dat 10^x = 2. Plot linker- en rechterkant van deze vergelijking en vraag het snijpunt op.

Een uitvergroting staat rechts:

Oefening schatten

Hieronder staat een logarithmisch verdeelde getallenlijn.
Schat zo nauwkeurig mogelijk de getallen de bij de punten A t/m F horen.

Oefening op de computer

Start Geocadabra op, en begin met een leeg ruitjesvel zonder grafieken.
Stel het assenstelsel in met x van 1/100 tot 1000, y van -1 tot 1, kies voor vierkante hokjes en stel op de x-as een logschaal in:

Klik op OK en je krijgt een log-verdeelde x-as:

We gaan nu een punt over de x-as laten lopen, terwijl je het erbij behorende getal kunt bestuderen.
Kies:

Je krijgt een besturingsvenster

Telkens wanneer je met de muis één keer klikt op het groen omcirkelde knopje, wordt de blauw omcirkelde waarde bij punt A met één eenheid opgehoogd. De eenheid kun je instellen in het rood omcirkelde veld.
De rood omcirkelde eenheid moet je (flink) groter maken (bijvoorbeeld 10) zodra je verder naar rechts gaat, maar juist kleiner wanneer je verder links van 1 komt, bijvoorbeeld 1/10. Anders verandert de positie van punt A in de tekening nauwelijks.

Opdacht
Probeer te zoeken waar de volgende getallen op de logschaal liggen: 7.83 ; 25; 85; 110; 450; 0.35; 0.045.

Terug naar het probleem aan het begin van dit venster.

De oplossing kan worden afgelezen in een tekening waarin je de y-as logaritmisch verdeelt, zodat de waarden 0.01 en 1000 beide hierop duidelijk te onderscheiden zijn:

Je maakt deze tekening door in Geocadabra een nieuwe tekening te starten:

Na een klik op OK kun je het assenstelsel invoeren. Let op het aanvinken van de logschaal op de y-as. Het vakje "vierkante hokjes" moet niet aangevinkt zijn.

Klik op OK en voer de functie in:

Klik op OK en afsluiten, en de grafiek staat op het scherm.

Voeg nu als tweede functie y = 1000 in, en als derde functie y = 1/100. Dit gaat zo:

Vraag dan een voor een de snijpunten op:

Kies y = 2^x en y = 1000, waarna je de grenzen opgeeft (analoog aan left bound en right bound op de GR).

Herhaal deze procedure voor het snijpunt met y = 1/100.

Door hierna de functie als nieuwe functie in te voeren, met [ -6.644 ; 9.9658 ] als domein, dik getekend in het groen, krijg jij de tekening hierboven.
Dit interval is dus de oplossing van de ongelijkheid.
Laat nu de grafiek weer zien.

Dit voorbeeld is tevens een demonstratie van een fraaie eigenschap van logpapier: groeifuncties ( y = B*g^x ) hebben als grafiek een rechte lijn op logpapier.