Geocadabra, kennismaken en toepassen

Ton Lecluse

Inhoudsopgave

Kennismaken

Lees dit eerst 2

Klikken en slepen. 4

Verwijderen en onzichtbaar maken. 4

Figuren tekenen. 5

Afhankelijk en onafhankelijk. 6

Namen en grootheden. 7

Vectoren. 8

Assen en coördinaten. 8

Vergelijkingen. 9

Meetkundige plaatsen. 11

Toepassen

Zoek de driehoek. 14

Lees dit eerst

Er zijn een aantal dingen die je over Geocadabra moet weten voordat je aan het werk kunt.

Het Geocadabra-scherm bestaat uit drie delen: een tekenveld, een menubalk erboven en een statusbalk eronder. In de menubalk zie je op de eerste regel zeven menu’s en een aantal knoppen eronder.

Het hoofdmenu

De menu’s hebben tot doel, je te begeleiden naar een specifiek commando. Klik je met de linker muisknop op een menu-woord, dan verschijnt het betreffende submenu, waarin je telkens verder kunt klikken tot je het gewenste commando aangeklikt hebt. Daarna verschijnt onder het tekenveld, op de statusbalk, toelichting bij wat je moet doen.

Wanneer je met de muis op een menu-regel gaat staan, zonder te klikken, verschijnt op de statusbalk een korte toelichting bij het commando.

De knoppenbalk

Wanneer je de muis op een knop plaatst zonder erop te klikken, verschijnt een helptext met uitleg in telegraafstijl.

Wanneer je met de linker muisknop op een knop klikt, activeer je het commando. Bepaalde commando’s, zoals [vergroten] en [verkleinen], worden meteen uitgevoerd. Andere commando’s, zoals [meervoudige animatie], zijn interactief. Na aanklikken kun je onder het tekenveld,op de statusbalk lezen, wat je moet doen. Of er verschijnt een controlevenster, waarin je details kunt specificeren.

Wanneer je met de rechter muisknop op een knop klikt, gebeurt iets soortgelijks.

Popup menu na een klik met rechter muisknop in de tekening

Wanneer een tekening aanwezig is in het tekenveld, kun je met de rechter muisknop in de buurt van een punt, lijn(stuk), cirkel, vlak, kegelsnede (enzovoort) klikken. Het actieve commando (dat je gekozen had uit het hoofdmenu) wordt afgebroken, en een popup menu verschijnt.

In nevenstaand voorbeeld is geklikt in de buurt van een bepaald punt, lijnstuk, arcering, cirkel, cirkelboog.

Je kunt nu aangeven wat je met betreffend item wilt doen. Je kunt bijvoorbeeld het punt wijzigen, of het lijnstuk, enzovoort.

Klikken en slepen

We bekijken hoe je elementaire figuren met Geocadabra kunt maken en manipuleren.

1. Begin met een lege, vlakke figuur:
nieuw, platte vlak, leeg blad. Klik [OK].

2. Om punten tekenen kies je:
bewerken, puntonderhoud, toevoegen, op muisklikpunt.
Als je nu in het tekenveld gaat staan met de muis en kort klikt, dat tekent Geocadabra een punt op de plaats waar je stond met de muis.
Teken een aantal punten.

3. Om lijnstukken te tekenen kies je:
bewerken, lijnonderhoud, lijnstuk toevoegen, door 2 muisklikpunten.
Je kunt nu, door twee punten achter elkaar aan te klikken, deze twee punten met elkaar verbinden. Dit kunnen bestaande punten zijn of nieuwe.
Let erop, dat op de statusbalk onder de tekening toelichting verschijnt, waardoor je altijd kunt herkennen met welk commando je bezig bent, en wat van je verwacht wordt.

4. Je hoeft de functie lijnstuk niet opnieuw te kiezen om een nieuw lijnstuk te kunnen tekenen.
Verbind zelfgekozen punten met elkaar en maak hiermee een lijnstuk.

5. Je kunt een driehoek ook sneller maken. Kies
bewerken, puntonderhoud, toevoegen, een veelhoek door muisklikken.
Klik nu drie punten aan, en hierna het eerste van deze drie punten nogmaals, en de driehoek wordt getekend.
Ook hier kun je nieuwe punten tekenen of al bestaande punten gebruiken.

6. Klik nu op de [sleep punt] knop. Loop over het scherm. Iedere keer als je bij een punt komt, zie je een tekstje in het beeld verschijnen met de naam van het punt.
Door een aangewezen punt met de muis te verslepen (= muis ingedrukt houden en de muispijl verplaatsen) kun je het punt naar iedere gewenste positie verplaatsen. Als het een eindpunt van een lijnstuk is, verhuist het lijnstuk mee.

7. Zorg ervoor dat er enkele lijnstukken aanwezig zijn die elkaar snijden.
We gaan weer punten toevoegen:
bewerken, puntonderhoud, toevoegen, op muisklikpunt.
Als je nu op een lijnstuk gaat staan, vraagt Geocadabra “punt op deze lijn?”. Als je dan klikt, komt het nieuwe punt op de lijn terecht. Dit punt blijft op dit lijnstuk liggen, ook als je uiteinden ervan verplaatst.
Als je nu op een snijpunt van twee lijnstukken gaat staan, vraagt Geocadabra “dit snijpunt?”. Als je dan klikt, wordt het snijpunt getekend. Dit punt blijft het snijpunt van deze twee lijnstukken, ook als je een van de uiteinden verplaatst.

8. Het snijpunt van zojuist kun je niet verslepen. Het is een afhankelijk punt: het is gemaakt als snijpunt van al aanwezige elementen (in dit geval lijnstukken).
Alleen onafhankelijke punten kun je verslepen.

Verwijderen en onzichtbaar maken

Je kunt een punt (bewerken, puntonderhoud, verwijder) of lijnstuk verwijderen, maar dan wordt alles dat na het punt of lijnstuk is getekend, ook verwijderd.

Toch wil je bij een ingewikkelde tekening slechts de hoofdzaken laten zien.

De oplossing is, het punt of lijnstuk onzichtbaar te maken. Dit kan op drie manieren:

- via het menu beeld, puntonderhoud, maak onzichtbaar waarna je op het betreffende item kunt klikken.

- Door met de rechter muisknop bij het punt of lijnstuk te klikken. Er verschijnt een popup menu, waarin je kunt aangeven, dat het item onzichtbaar moet worden.

- Door met de linker muisknop te klikken op de [maak (on)zichtbaar] knop. Alle al onzichtbare punten, lijnen, cirkels en arceringen worden lichtgrijs zichtbaar. Klik op een niet-grijs item om dit onzichtbaar te maken. Door nogmaals op de [maak (on)zichtbaar] knop te klikken, worden de lichtgrijze items weer echt onzichtbaar.
Wanneer je met de rechter muisknop op deze knop klikt, kun je de lichtgrijze, onzichtbare items juist weer zichtbaar klikken. Na afloop klik je weer met de rechter muisknop op deze knop om het zichtbaar maken te beëindigen.

Figuren tekenen

In deze paragraaf lopen we de belangrijkste vlakke figuren door die je met Geocadabra kunt maken. In het algemeen kun je zeggen: kies een commando uit een menu, waarna onder op de statusbalk wordt toegelicht wat je moet doen.

1. Cirkel: Kies uit de mogelijkheden in het menu bewerken, cirkelonderhoud, toevoegen. Bijvoorbeeld middelpunt, sleep straal. Klik op een punt, en houd de muisknop omlaag, terwijl je de muis beweegt. Je ziet een cirkel waarvan het middelpunt je aangeklikte punt is. De cirkel gaat door je bewegende muispunt. Zodra je de muis loslaat, ligt de cirkel vast. Je kunt de cirkel verslepen door het middelpunt te verslepen.
Vaak zul je een cirkel tekenen door drie punten (bewerken, cirkelonderhoud, toevoegen, door 3 punten). Klik dan op drie, al dan niet bestaande, punten. Je kunt de cirkel nu niet verslepen door het middelpunt te verslepen. Dit middelpunt is namelijk afhankelijk van de ligging van de drie punten waar de cirkel doorgaat. Wel kun je een van die drie punten verslepen, waardoor de cirkel mee verandert.

2. Cirkelboog: Kies bewerken, cirkelonderhoud, toevoegen, cirkelboog. Kies drie punten. Het eerste punt is het middelpunt, het tweede punt is het startpunt van de boog en bepaalt tevens de straal. Het derde punt bepaalt het eind van de boog, maar hoeft niet op de boog zelf te liggen.

3. Lijn: Kies uit de mogelijkheden in het menu bewerken, lijnonderhoud, hele lijn toevoegen. Bij lijn door 2 punten kun je weer twee punten aanklikken. Nadat je het eerste punt hebt aangeklikt, en met de muis beweegt, zie je een lijn getekend door dat punt en je muispijlpunt. Klik je een tweede keer, dan leg je daarmee het tweede punt op de lijn vast.

4. Een deellijn van een hoek is de lijn die een hoek doormidden deelt. Een ander woord voor deellijn is bissectrice.
Teken een driehoek ABC. Kies in het menu bewerken, lijnonderhoud, hele lijn toevoegen, hoekdeellijnen. Klik nu eerst op het hoekpunt A. Klik hierna op B, een punt van de ene lijn en daarna op C, een punt van de andere lijn. Hierna worden de twee hoekdeellijnen getekend.
Als je maar één van deze twee hoekdeellijnen wilt zien, kun je de andere onzichtbaar maken (bewerken, lijnonderhoud, maak onzichtbaar, klik dan op die lijn.)

5. Een loodlijn staat loodrecht op een andere lijn of lijnstuk. Teken een lijn en kies bewerken, lijnonderhoud, hele lijn toevoegen, door punt loodrecht op lijnstuk. Klik een punt en een lijn(stuk).

6. Het midden van een lijnstuk krijg je door te kiezen bewerken, puntonderhoud, midden van lijnstuk, en hierna het betreffende lijnstuk aan te klikken. Of je kiest bewerken, puntonderhoud, midden tussen twee punten, en klikt op twee punten. Dit hoeven dan geen eindpunten van een lijnstuk te zijn.

7. De middelloodlijn van een lijnstuk of twee punten gaat op vrijwel dezelfde manier, via bewerken, lijnonderhoud, middelloodlijn; van lijnstuk of tussen twee punten.

8. Je kunt evenwijdige lijnen tekenen. Kies bewerken, lijnonderhoud, hele lijn toevoegen, door punt evenwijdig aan lijnstuk. Klik een punt en een lijn(stuk).

9. Een vector is een pijl. Je kunt vectoren tekenen en onderhouden via bewerken, vectoronderhoud.

10. Punt op object en snijpunt. Wanneer je bij het toevoegen van een punt op muispositie op een object (bijvoorbeeld lijn of cirkel) gaat staan, vraagt Geocadabra of je het punt precies op het object wilt hebben. Wanneer je dan klikt, zal het punt altijd op het object blijven liggen, ook als je het object verplaatst. Wanneer je op een snijpunt gaat staan, vraagt Geocadabra of je het punt als snijpunt wilt definiëren. Als je dan klikt, zal het punt altijd het snijpunt van de twee objecten blijven, ook als je ze verplaatst.
Teken twee elkaar snijdende lijnen. Kies bewerken, puntonderhoud, toevoegen, op muisklikpunt, en klik op enkele plaatsen op de lijnen, en op het snijpunt. Je kunt nu een van de lijnen verplaatsen door een van de oorspronkelijke twee punten van zo’n lijn te verslepen. Je ziet dat de andere punten op hun lijn blijven liggen, evenals het snijpunt. Merk op, dat de later toegevoegde punten wel versleepbaar zijn, maar slechts over hun lijn: die zijn gemaakt als punt op object, en derhalve afhankelijk van die lijn. Het snijpunt is helemaal niet versleepbaar: het is afhankelijk van beide lijnen.

Afhankelijk en onafhankelijk

Geocadabra kent een onderscheid tussen afhankelijke en onafhankelijke objecten. Onafhankelijke objecten zijn die objecten die je los hebt getekend, zonder daarbij rekening te houden met de plaats van andere objecten. Afhankelijke objecten zijn objecten die je getekend hebt met behulp van figuren die al bestonden.

1. Teken de middelloodlijn op een van de zijden van een driehoek. Je kunt hem niet verslepen. Klik nu op de [sleep punt] knop. Versleep nu een van de hoekpunten van de driehoek. Je zult zien dat de middelloodlijn meebeweegt.

Als je iets verandert aan een object, zullen alle objecten die afhankelijk zijn van dat object ook meeveranderen.

2. Teken ook de andere twee middelloodlijnen van de zijden van de driehoek. Het lijkt erop dat de lijnen elkaar snijden in één punt. Kies bewerken, puntonderhoud, toevoegen, op muisklikpunt. Plaats de muis op dit punt, en Geocadabra vraagt of je dit snijpunt wilt toevoegen. Geocadabra weet zelf niet, of de drie lijnen alledrie door dit punt gaan. Je ziet dan ook maar twee ervan oplichten. Klik dit punt nu aan. Teken vervolgens de cirkel met als middelpunt dit snijpunt, die door één van de hoekpunten van de driehoek gaat. Waarom liggen de andere hoekpunten ook op de rand?

Je kunt een nieuwe tekening beginnen wanneer je maar wilt. Er zijn een aantal manieren om dat te doen.

3. Je kunt een nieuw bestand vragen (bestand, nieuw). Geocadabra vraagt je dan of je de bestaande tekening wilt opslaan. Zo ja, dan kun je het bestand een naam geven en laten opslaan. Hierna verschijnt het venster waarin je kun kiezen, met welke basisfiguur je wilt beginnen.

4. Je kunt ook alle getekende voorwerpen wissen. Gebruik de [selecteer rechthoekig gebied] knop om alles binnen het beeldscherm te selecteren. Er verschijnt dan een menu, waarin je kiest voor verwijder alle punten en lijnstukken. Ook cirkels verdwijnen mee, aangezien die afhankelijk zijn van punten.
Je kunt ook een deel van het scherm schoon maken door dat schermdeel te selecteren.

Namen en grootheden

We bekijken in deze paragraaf hoe je objecten in Geocadabra namen geeft en we meten aan objecten.

1. Teken een cirkel en teken daarop vier punten. Elk punt krijgt automatisch een naam.

2. Je kunt een naam veranderen door met de rechter muisknop op het punt te klikken, en in het menu dat verschijnt, te kiezen voor punt, wijzig naam. Er verschijnt een venster, waarin je de naam kunt wijzigen. Deze naam mag uit meer letters bestaan.

3. Je kunt de namen van alle punten samen uit of aan zetten met de [toon/verberg puntnamen] knop.

4. Teken een driehoek ABC. Klik op een van de zijden en kies in het menu dat verschijnt, lijnstuk, toon lengte. Je ziet de lengte van het lijnstuk erbij verschijnen. Sleep nu een van de hoekpunten van het lijnstuk. Je ziet de lengte mee veranderen.

5. Vraag de oppervlaktemeter aan: beeld, werkbalken, meetgereedschap. Een venster verschijnt, waarin je kiest voor oppervlakte van een driehoek. E verschijnt een gearceerde driehoek bovenop de tekening. Sleep de hoekpunten daarvan op die van je driehoek. Nadat het derde hoekpunt geplaatst is, wordt midden in de arcering de oppervlakte van de driehoek getoond. Wanneer je nu op de [sleep punt] knop klikt, en een van de punten versleept, zie je de oppervlaktemeter mee veranderen.

Geocadabra werkt bij het meten van lengtes, oppervlakten en hoeken numeriek. Dat wil zeggen dat er afgerond wordt. De standaardinstelling kan worden ingesteld in het configuratiemenu. Stel bijvoorbeeld zo in dat er op 2 decimalen wordt afgerond.

6. Je merkt dat de oppervlakte van de driehoek niet continu meeverandert met het vergroten of verkleinen van de driehoek, maar met sprongetjes toe- of afneemt. Probeer de oppervlakte zo dicht mogelijk bij 20 te krijgen.

7. Teken enkele losse punten en kies in het meetgereedschap eens voor lengtemeter. Plaats de uiteinden van de meter op twee van de aanwezige punten. Sleep met een van deze punten en probeer de onderlinge afstand eens op 10 te krijgen.
Teken een cirkel met middelpunt en hierop vier punten B, C D en E. We gaan hoeken meten. Kies bewerken, hoekonderhoud, een hoek markeren. Om te meten, vullen we het venster in zoals hiernaast getoond.
Wanneer je op een van de hoekpuntnamen klikt, verdwijnt het venster tijdelijk, waardoor dit venster niet in de weg zit bij het aanklikken. Nadat het punt is aangeklikt, komt het venster terug, met op de betreffende knop de naam van het aangeklikte punt.
Markeer ook .

Wanneer de hoekgrootte niet in het gewenste aantal decimalen is, of in radialen in plaats van graden, kun je dit instellen in het configuratievenster. Dit kan ook achteraf.
Wat valt op over de som van deze twee hoeken?

Een vierhoek waarbij alle punten op de rand van een cirkel liggen, heet een koordenvierhoek. In de vorige opgave heb je een beroemde stelling uit de meetkunde ontdekt: de Stelling van de Koordenvierhoek.

Deze luidt als volgt: in een koordenvierhoek is de som van beide paren tegenover elkaar liggende hoeken gelijk aan .

Vectoren

Vectoren zijn belangrijke objecten in veel abstracte wiskundige domeinen. Je kunt met vectoren rekenen zoals met getallen en vervolgens stellingen bewijzen die veel meer toepassingen blijken te hebben dan alleen in de getallenwereld.

1. Een vector in Geocadabra is niets anders dan een pijl in een meetkundige vlakke of ruimtelijke tekening. Je kunt vectoren tekenen via bewerken, vectoronderhoud, vector toevoegen. Teken er een aantal.

Je kunt een vector opvatten als een natuurkundige kracht. De lengte van de vector stelt dan de grootte van de kracht voor en de richting van de vector de richting van de kracht. Als er twee verschillende krachten op een voorwerp werken (bijvoorbeeld: op een omlaag vallende steen werken de zwaartekracht en de luchtwrijvingskracht), dan kan het interessant zijn om te weten wat het uiteindelijke resultaat van die krachten is. Daarvoor moet je de krachten (en dus de vectoren) kunnen optellen.

2. Met Geocadabra kun je ook vectoren optellen. Kies deze functie onder bewerken, vectoronderhoud. Klik twee vectoren aan, waarna de somvector wordt getekend.

3. probeer uit te vissen wat die som voorstelt. (Hint: wat is de som van twee vectoren die achter elkaar liggen?)

4. Er is een manier om een parallellogram te tekenen met behulp van vectoren. Teken de vectoren AB en AC. Kies dan bewerken, vectoronderhoud, vector toevoegen, maak kopie van een vector. Kies AB en klik op C. Kies AC en klik op B.

5. Versleep punt A en bekijk wat er allemaal mee verandert.

Assen en coördinaten

Je kunt op het tekenvel van Geocadabra een coördinatenstelsel aanbrengen.

1. Teken een assenstelsel door op de [wijzig orthogonaal assenstelsel] knop te klikken. Maak een assenstelsel waarbij de horizontale as loopt van -14 tot 14, en de verticale van -10 tot 10.
In dit rooster-controle-venster kun je het rooster op vele manieren naar eigen inzichten vormgeven.

2. Voeg de roosterpunten A( 3 ; 2 ) en B( -1 ; 5) toe via bewerken, puntonderhoud, toevoegen, roosterpunt bij muisklikpunt. Teken de cirkel met de oorsprong als middelpunt die door punt A gaat. Kies berekeningen, coördinaten en vergelijking, en plaats de muispijl bij de cirkel. De vergelijking van de cirkel wordt getoond: . Op dezelfde manier kun je de coördinaten van een punt opvragen na berekeningen, coördinaten van een punt.

3. Je kunt een punt verslepen met de muis. Maar je kunt het punt ook verplaatsen door de coördinaten te veranderen. Klik met de rechter muisknop op het betreffende punt. In het menu dat verschijnt, kies je punt, wijzig coördinaten, carthesisch. Een venster verschijnt waarin je de coördinaten handmatig kunt wijzigen. Wanneer je in dat venster een van de handjes ingedrukt houdt, verander je daarmee een coördinaat in kleine stapjes.

4. Trek de lijn door A en B. Klik met de rechter muisknop op de lijn en kies lijn, toon vergelijking. De vergelijking wordt getoond.
Sleep nu met de punten A en B, en bestudeer hoe hierdoor de lijnvergelijking verandert.
(De vergelijking kan twee gedaanten hebben: y=ax+b of ax+by=c. Het gedaantetype kan worden ingesteld in het configuratievenster.)

Vergelijkingen

Veel meetkundige figuren hebben een vergelijking. Je kunt Geocadabra om de vergelijking vragen van de figuren die het programma tekent. Hierboven is dit al geoefend met lijnen en cirkels.

1. Geocadabra kan de vergelijking bepalen van een meetkundige figuur die je hebt getekend. Teken een aantal lijnen en vraag Geocadabra om de vergelijking met behulp van de rechter muisknop.

2. Probeer één van de lijnen zo te verschuiven dat hij horizontaal loopt. Verschuif een andere lijn zo dat hij verticaal loopt. Wat gebeurt er met de vergelijkingen?

3. Een rechte lijn wordt bepaald door twee punten waar de lijn doorheen gaat. Probeer de volgende lijnen te construeren door het aanklikken van twee roosterpunten:

en controleer je antwoord door Geocadabra om de vergelijking van de lijn te vragen.

Er zijn flink wat krommen die je met behulp van Geocadabra kunt construeren

4. Teken de punten ( 0; 0 ), ( 1 ; 1 ), ( 2 ; 4 ), (-1 ; 1 ) en ( -2 ; 4 ). Kies bewerken, kegelsneden, kegelsnede door 5 punten, toevoegen, en klik deze 5 punten aan. Als het goed is, komt deze figuur je erg bekend voor. Wat is de vergelijking die erbij hoort? Controleer je antwoord met Geocadabra (door in het configuratievenster de optie “toon vergelijking kegelsneden” aan te vinken).

5. Probeer de volgende parabolen te maken door vijf punten aan te klikken:

(Hint: probeer bij de tweede parabool niet de top uit te rekenen, maar vijf andere punten.)
Controleer je antwoord met Geocadabra.

Als je in Geocadabra een figuur met een vergelijking verandert, verandert de vergelijking meteen mee.

6. Maak het scherm schoon en teken een kegelsnede door de punten ( -2 ; -2 ), ( -4 ; -1 ), ( 2 ; 2 ), ( 4 ; 1 ) en ( 1 ; 4). Hoe heet deze figuur? Wat is de vergelijking ervan?

7. Teken vervolgens een kegelsnede door de punten ( 4 ; 0 ), (-4 ; 0), ( 0 ; 2 ), ( 0 ; -2 ) en kies het vijfde punt in de buurt van ( 2½ ; -1½ ). Vraag Geocadabra om de vergelijking van deze ellips. Verschuif het vijfde punt net zo lang tot de vergelijking van de ellips gelijk is aan

8. De ellips en de hyperbool lijken elkaar te raken. Is dat ook zo, denk je? Stel de vergelijkingen van beide kegelsneden aan elkaar gelijk. Hoeveel snijpunten zijn er? Waar liggen die snijpunten in de tekening? Raken de twee kegelsneden elkaar?

9. Teken in een nieuw assenstelsel de punten ( 0 ; 4 ), ( 3 ; 5 ), ( -3 ; 5 ), ( 0 ; -4 ) en ( -3 ; -5 ). Teken de kegelsnede door deze vijf punten. De vergelijking van deze kegelsnede is verbluffend simpel: bepaal deze vergelijking.

10. Deze hyperbool heeft twee asymptoten. Welke twee zijn dit? Teken deze twee lijnen.

Je kunt ook functies tekenen.

11. Begin met een nieuw assenstelsel en kies bewerken, functies en krommen, onderhoud.
Je krijgt een lege functielijst. Vraag naar een nieuwe functie, en een venster verschijnt, waarin je de formule van een functie kunt invoeren.
Teken de grafiek van de functie op domein [ -2 ; 4 ].

Meetkundige plaatsen

Het tekenen van meetkundige plaatsen is één van de mooiste opties van Geocadabra. In deze paragraaf leer je wat een meetkundige plaats is en hoe jer er een kunt construeren.

1. Teken in een leeg tekenvlak een cirkel (bewerken, cirkelonderhoud, toevoegen, middelpunt, sleep straal). Plaats drie punten op deze cirkel. Maak het hoogtepunt E van de driehoek (bewerken, driehoekbewerkingen, constructie hoogtepunt; klik op de drie hoekpunten van de driehoek.). Je krijgt de tekening hiernaast.

2. Na een klik op de [sleep punt] knop kun je punt D over de cirkel slepen. Je ziet dat BF, CG en DH hoogtelijnen in de driehoek blijven, en E het hoogtepunt. We vragen ons af wat de baan van punt E is als je D over de cirkel beweegt. Doe dit, en beschrijf wat de baan van punt E volgens jou is.

3. Je kunt deze baan zichtbaar maken door van punt E het spoor aan te zetten. Dit kun je doen door op dit punt te klikken met de rechter muisknop en in het popupmenu hiervoor te kiezen. Sleep punt D hierna over de cirkel, en de baan van punt E wordt zichtbaar als achterlatend spoor. Zie tekening hiernaast.

4. Je kunt het slepen van punt D automatiseren door dit punt weg te schieten met de knop [enkelvoudige animatie]. Hierna kun je punt D wegschieten door het punt te verslepen terwijl je de linker muisknop ingedrukt houdt. Je ziet dat het punt dan niet meegaat, maar dat er een veertje in beeld verschijnt. De lengte ervan bepaalt de snelheid van het punt.
Als je nu de muis loslaat, schiet het veertje los en begint het punt de andere kant op te bewegen.
Terwijl D automatisch de cirkel doorloopt, wordt het spoor van punt E getekend.
Je kunt de animatie stop zetten door op de [stop]knop, die intussen op het scherm verschenen is, te klikken.

5. Je kunt ook de meetkundige plaats van E zichtbaar maken met het commando bewerken, puntonderhoud, meetkundige plaats. (Een meetkundige plaats is het spoor van een punt. Het verschil is dat je met de meetkundige plaats kunt doorwerken. Je kunt er punten op leggen, je kunt de vergelijking opvragen.)
Je moet nu eerst het punt aangeven waarvan je de meetkundige plaats wilt zien. Klik dus op E.
Hierna klik je op het punt dat moet worden versleept. Klik hierna dus op D.
De meetkundige plaats van E verschijnt. Je hoeft hiervoor punt D niet meer te gaan slepen.

6. De meetkundige plaats verhuist ook mee als je punt A, B of C verschuift. Het is nu niet meer nodig, het spoor van E aan te houden. Zet dit spoor nu uit via het menu van de rechter muisknop.

7. Om een vergelijking te zien van de meetkundige plaats, kies je berekeningen, coördinaten en vergelijking. Plaats de muis nu op de meetkundige plaats (zonder te klikken) en de vergelijking verschijnt. Deze vergelijking is berekend ten opzichte van een momenteel onzichtbaar assenstelsel. Dit kun je zichtbaar maken met de [wijzig orthogonaal assenstelsel] knop. Wanneer je deze cirkel mooi op roosterpunten wilt laten aansluiten, kun je punt A via de rechter muisknop (wijzig coördinaten) plaatsen. Hierna kun je de cirkel door roosterpunten krijgen via bewerken, cirkelonderhoud, wijzig cirkel, uitgebreid. Een venster verschijnt waarin je de cirkel uitgebreid kunt aanpakken.

8. Herhaal bovenstaande oefeningen met de zwaartelijnen in plaats van hoogtelijnen. Wat is de meetkundige plaats van E?

Je kunt ook meerdere punten gelijktijdig laten bewegen, elk met zijn eigen snelheid.. Dit kan met de [meervoudige animatie] knop.

9.

Begin met een cirkel op een leeg vel. Plaats twee punten B en C op de cirkel. Vraag het midden D van BC op (bewerken, puntonderhoud, toevoegen, midden tussen twee punten). Zet het spoor van D aan, en klik op de [meervoudige animatie] knop. Schiet nu de punten B en C weg. Er verschijnt een venster waarin je de onderlinge snelheden (uitgedrukt in pixels) kunt bijstellen. Kies tegengestelde snelheden in een bepaalde verhouding. (Hier is gekozen voor 200 : -150, dus 4 : -3).
Klik op de [start] knop. Je ziet een spirograaf in werking.

10. Probeer nog enkele andere bloemen te maken door met de startwaarden te variëren. Probeer een verband te zoeken tussen het aantal bloembladen en de ingevoerde snelheidsverhouding.

11. Hoe ziet de figuur eruit, als je de beide snelheden verschillend, maar beide positief kiest?

12. Het snelheids-startwaarden venster blijft tijdens de animatie zichtbaar. Je kunt ermee de animatie versnellen of vertragen. Onderzoek hoe dit moet.

Toepassen

Op de volgende pagina’s staan toepassingen waarmee je op niveau met Geocadabra onderzoek gaat verrichten, waar de “gewone” wiskundige kennis je in de steek laat.

Zoek de driehoek

Gegeven driehoek ABC.

Driehoek DEF heeft de hoekpunten op de drie zijden van driehoek ABC.

Cirkel c is de ingeschreven cirkel van driehoek DEF.

Zie figuur.

Er is nog een driehoek met hoekpunten op de zijden van driehoek ABC.

Bepaal deze driehoek.

Onderzoek met computer

Teken driehoek ABC, DEF en de ingeschreven cirkel van driehoek DEF.

Plaats punt H op de cirkel. H kan vrij langs de cirkel bewegen.

De raaklijn in H aan de cirkel snijdt AB in J en BC in M.

Trek de tweede raaklijn vanuit J aan de cirkel. Deze raaklijn snijdt AC in N.

Teken driehoek JMN, maak eventueel de hele lijnen onzichtbaar, die storen slechts.

Sleep H nu over de cirkel en probeer het zo te mikken dat MN de cirkel raakt.

Zo krijg je onderstaande figuur (waarin naderhand ook H onzichtbaar is gemaakt).

Analyse of constructie en bewijs

Wie waagt?