De Oogbalstelling

Gegeven twee cirkels (A) en (B). Laat de raaklijnen vanuit A aan (B) de cirkel (A) snijden in P en Q, en laat de raaklijnen vanuit B aan (A) de cirkel (B) snijden in punten R en S. Dan zegt de oogballenstelling dat PQ=RS. Oftewel dat PRSR een rechthoek is. Een aantal bewijzen wordt gegeven op de Cut the Knot site van Alexander Bogomolny. Hier is mijn bewijs.

Englis version of this page

Bewijs

Merk eerst op dat AMB, ANB, ALB and AKB allemaal rechthoekige driehoeken zijn met schuine zijde AB, zodat de hoekpunten allemaal liggen op de cirkel met diameter AB.

Verleng nu PR tot TU met T op (A) en U op (B). Laat TM en UN elkaar snijden in V.

Nu zien we dat hoek(MAN) = hoek(MBN) en dus hoek(VTU) = hoek(MTP) = hoek(MAN)/2 = hoek(MBN)/2 = hoek(RUN) = hoek(VUT). We concluderen dat driehoek TUV gelijkbenig is met VT=VU.

We zie ook dat hoek(MBN) = hoek(VTU) + hoek(TUV) zodat hoek(MBN) en hoek(NVM) samen 180 graden zijn, dus NBMV is een koordenvierhoek en V ligt op de cirkel met diameter AB.

Nu merken we op dat hoek(TVA)=hoek(KVA), omdat deze hoeken even grote koorden afsnijden, en hoek(UVB) = hoek(LVB). Door te spiegelen in AV en BV zien we dus dat zelfs VT=VK=VL=VU.

Neem nu voor W het spiegelbeeld van V in AB. Driehoek WMN is gelijkbenig net als driehoek KLV. Dus hoek(WVN) = hoek(WMN) = hoek(WNM) = hoek(WVM), dus VW is bissectrice van hoek(TVU). Maar dat betekent dat VW loodrecht staat op PR als bissectrice van een tophoek van een gelijkbenige driehoek. En dus zijn PR en AB evenwijdig. Hetzelfde geldt natuurlijk voor QS, en dus is PQSR een rechtoek.

Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.