Vierkanten in een driehoek

Een niet zo bekende manier om driehoekscentra te definiëren is het gebruiken van vierkanten. Hier volgen enkele voorbeelden. Nu een voorbeeld met congruente vierkanten.

3. Congruente vierkanten.

Stel je een driehoek ABC voor en een punt P. Er zijn twee punten X op AB en Y op AC zodat |XP|=|YP| en hoek YPX = 90°. We kunnen dus van XPY een vierkant maken. We noemen dit het A-vierkant vanuit P.

Het blijkt dat er twee punten Ken K' zijn zodat de A-, B- en C-vierkanten vanuit die twee punten congruent zijn.

Het punt K wordt in Kimberling's boek Triangle Centers and Central Triangles en Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) het Kenmotu punt (X₃₇₁) genoemd. Het andere punt is in Kimberling's ETC X₃₇₂.

Barycentrische coördinaten voor de punten zijn:

• K: ... : sinB(sinB + cosB) : ... , of: ... : sinB cos(B- pi/4) : ...
• K': ...: sinB(sinB - cosB) : ..., of ...: sinB cos(B+ pi/4) : ...

Uit de figuur van de congruente vierkanten kunnen we nog fraaie eigenschappen van deze vierkanten zien (zie figuur 3):

• De vierkanten vanuit K en K' zijn parallel aan elkaar;
• Bekijk de vierkanten vanuit K. Laat A'B'C' de driehoek zijn van de hoekpunten van deze vierkanten tegenover K. Dan zijn ABC en A'B'C' perspectief. Het centrum van perspectiviteit is K'.
• Omgekeerd, bekijk je de vierkanten vanuit K' en laat je A"B"C" de hoekpunten tegenover K' zijn in de drie congruente vierkanten, dan zijn ABC en A"B"C" perspectief. Het centrum van perspectiviteit is K.

figuur 3

1. Omgeschreven vierkanten.
2. Meer punten uit omgeschreven vierkanten.
3. Congruente vierkanten.
4. Ingeschreven vierkanten.
5. Gekrompen ingeschreven vierkanten.

Terug naar Floors wiskunde pagina.

Home.